Намунаҳои саволҳо дар бораи векторҳои манфӣ ё векторҳои муқобил
Дар математика, бахусус дар физика ё геометрияи таҳлилӣ, мафҳуми векторҳо нақши муҳим мебозад. Векторҳо одатан барои ифодаи миқдорҳо бо самт ва бузургӣ, ба монанди суръат, қувва ва ҷойивазкунӣ истифода мешаванд. Ҳангоми баррасии векторҳо, мо аксар вақт бо истилоҳҳои "вектори манфӣ" ё "вектори муқобил" дучор мешавем. Дар ин мақола ин мафҳум муфассал шарҳ дода мешавад ва мисолҳо ва роҳҳои ҳал барои осон кардани фаҳмиш пешниҳод карда мешаванд.
Таърифи вектори манфӣ
Вектори манфӣ ё вектори муқобил векторест, ки самти муқобил, вале бузургии вектори аслӣ дорад. Агар мо вектори \(\mathbf{a}\) дошта бошем, пас вектори манфии \(\mathbf{a}\), ки одатан ҳамчун \(-\mathbf{a}\ ишора карда мешавад, самти муқобил ва бузургии \(\mathbf{a}\) дорад. Агар \(\mathbf{a}\) дар шакли компонентӣ ҳамчун \((a_x, a_y)\) ифода карда шавад, пас вектори манфӣ \((-a_x, -a_y)\) аст.
Нота ва намояндагии векторӣ
Фарз мекунем, ки вектори \(\mathbf{a}\) дар шакли компонентӣ чунин ифода ёфтааст:
\[ \mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} \]
ки дар он \(\mathbf{i}\) ва \(\mathbf{j}\) мутаносибан векторҳои воҳидӣ дар самтҳои x ва y мебошанд. Пас, вектори манфии \(\mathbf{a}\) ё \(-\mathbf{a}\)-ро метавон чунин ифода кард:
\[ -\mathbf{a} = -a_x \mathbf{i} – a_y \mathbf{j} \]
Хосиятҳои векторҳои манфӣ
Баъзе хосиятҳои муҳими векторҳои манфӣ инҳоянд:
1. Ҷамъ бо вектори аслӣ: Ҷамъ кардани векторе, ки вектори манфии он дорад, вектори сифрро ба вуҷуд меорад.
\[ \mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0} \]
2. Амалҳои скалярӣ: Зарб кардани вектор ба -1 вектори манфии онро ба вуҷуд меорад.
\[ -1 \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} \]
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Барои беҳтар фаҳмидани мафҳуми векторҳои манфӣ ё векторҳои муқобил, биёед масъалаҳои зеринро баррасӣ кунем:
Мисоли 1:
Фарз мекунем, ки вектори \(\mathbf{a} = 3 \mathbf{i} – 4 \mathbf{j}\) мавҷуд аст. Вектори манфии вектори \(\mathbf{a}\)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Рӯшан аст:
\[ \mathbf{a} = 3 \mathbf{i} – 4 \mathbf{j} \]
Вектори манфии \(\mathbf{a}\) чунин аст:
\[ -\mathbf{a} = -1 \cdot (3 \mathbf{i} – 4 \mathbf{j}) \]
\[ -\mathbf{a} = -3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} \]
Пас, вектори манфии \(\mathbf{a}\) чунин аст:
\[ -\mathbf{a} = -3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} \]
Мисоли 2:
Ду вектор мавҷуд аст \(\mathbf{b} = 6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}\) ва \(\mathbf{c} = -1 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j}\). Ҳосили \(\mathbf{b} + (-\mathbf{c})\)-ро ёбед.
Муҳокима:
Рӯшан аст:
\[ \mathbf{b} = 6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{c} = -1 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j} \]
Вектори манфии \(\mathbf{c}\) чунин аст:
\[ -\mathbf{c} = -1 \cdot (-1 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j}) \]
\[ -\mathbf{c} = 1 \mathbf{i} – 7 \mathbf{j} \]
Акнун мо \(\mathbf{b} + (-\mathbf{c})\)-ро меёбем:
\[ \mathbf{b} + (-\mathbf{c}) = (6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}) + (1 \mathbf{i} – 7 \mathbf{j}) \]
\[ \mathbf{b} + (-\mathbf{c}) = (6 + 1) \mathbf{i} + (2 – 7) \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{b} + (-\mathbf{c}) = 7 \mathbf{i} – 5 \mathbf{j} \]
Пас, натиҷаи формулаи \(\mathbf{b} + (-\mathbf{c})\) чунин аст:
\[ 7 \mathbf{i} – 5 \mathbf{j} \]
Мисоли 3:
Вектори \(\mathbf{d} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j}\ мавҷуд аст, ки дар он a ва b ададҳои воқеӣ мебошанд. Агар \(\mathbf{d} + \mathbf{e} = \mathbf{0}\), вектори \(\mathbf{e}\)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Рӯшан аст:
\[ \mathbf{d} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{d} + \mathbf{e} = \mathbf{0} \]
Барои ба даст овардани \(\mathbf{e}\), мо метавонем чунин нависем:
\[ \mathbf{e} = -\mathbf{d} \]
Пас, вектори \(\mathbf{e}\) вектори манфии \(\mathbf{d}\) аст:
\[ \mathbf{e} = -\mathbf{d} = -a \mathbf{i} - b \mathbf{j} \]
Мисоли 4:
Бо назардошти вектор \(\mathbf{f} = 5 \mathbf{i} + k \mathbf{j}\). Маълум аст, ки вектори манфии \(\mathbf{f}\) \(-5 \mathbf{i} – 8 \mathbf{j}\) аст. Қимати кро муайян кунед.
Муҳокима:
Рӯшан аст:
\[ \mathbf{f} = 5 \mathbf{i} + k \mathbf{j} \]
\[ -\mathbf{f} = -5 \mathbf{i} – 8 \mathbf{j} \]
Аз ин робита, мо метавонем муодилаҳои компонентиро барои \(\mathbf{f}\) ва \(-\mathbf{f}\ созем. Аз ҷиҳати компонентӣ, вектори \(\mathbf{f}\) ва вектори манфии он бояд муносибати якхелаи мавқеъӣ бо аломатҳои муқобил дошта бошанд. Ҳамин тариқ:
Барои компонентҳои \( \mathbf{i} \):
\[ -5 = -5 \]
Ин ба таври худкор дуруст аст.
Барои компоненти \( \mathbf{j} \):
\[ -k = -8 \]
\[ k = 8 \]
Пас, арзиши \(k\) ба 8 баробар аст.
Хулоса
Дар омӯзиши векторҳо фаҳмидани мафҳуми вектори манфӣ ё вектори муқобил муҳим аст. Вектори муқобил векторест, ки самти муқобили вектори аслӣ дорад, аммо андозаи якхела дорад. Дар амалиётҳои векторӣ, шинохтан ва истифодаи векторҳои манфӣ метавонад дар содда кардани бисёр масъалаҳо, ба монанди ҷамъ кардан ё тарҳ кардани векторҳо, хеле муфид бошад. Бо амалия ва дарки хосиятҳои асосии векторҳо, фаҳмидани ин мафҳум бештар фаҳмотар хоҳад шуд.
Умедворем, ки саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи дар ин мақола овардашуда ба шумо дар фаҳмиши амиқтари векторҳои манфӣ ё векторҳои муқобил кӯмак мерасонанд. Барои маҳорати бештар дар ин мавод, машқ ва омӯзиши саволҳои бештарро идома диҳед!
