Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи векторҳои сеченака дар системаи координатаҳои декартӣ
Векторҳои сеченака як мафҳуми муҳим дар математика ва физика мебошанд, ки аксар вақт барои ифодаи ашё ё падидаҳо дар фазои сеченака истифода мешаванд. Дар системаи координатаҳои декартӣ, ин векторҳо бо се ҷузъ, ки одатан ҳамчун \( (x, y, z) \ ишора карда мешаванд, ифода карда мешаванд. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъалаҳо ва роҳҳои ҳалли марбут ба векторҳои сеченака дар системаи координатаҳои декартӣ баррасӣ карда мешаванд.
Фаҳмидани векторҳои сеченака
Векторро дар фазои сеченака чунин ифода кардан мумкин аст: \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), ки дар он:
– \(A_x\) ҷузъи вектор дар меҳвари x аст.
– \(A_y\) ҷузъи векторӣ дар меҳвари y аст.
– \(A_z\) ҷузъи векторӣ дар меҳвари z аст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1: Амали ҷамъи векторӣ
Ду вектор дода шудааст, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) ва \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). Ҷамъи ин ду векторро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Ҷамъ кардани ду вектори \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) бо роҳи ҷамъ кардани ҷузъҳои мувофиқи онҳо анҷом дода мешавад. Пас, мо дорем:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Қиматҳои вектории додашударо иваз кунед:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Пас, натиҷаи ҷамъ кардани векторҳои \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) ин аст \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\).
Саволи 2: Амали тарҳи векторӣ
Ду вектор дода шудааст, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) ва \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Тарҳбандии ин ду векторро, яъне \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\), ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Тарҳ кардани ду вектори \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) бо роҳи тарҳ кардани ҷузъҳои мувофиқи онҳо анҷом дода мешавад. Пас, мо дорем:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z)
\]
Қиматҳои вектории додашударо иваз кунед:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Пас, натиҷаи тарҳ кардани векторҳои \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) ин аст \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\).
Саволи 3: Амали зарби скалярӣ
Вектори \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) ва скаляр \(k = 4\) дода шудааст. Ҳосили скалярии ин векторҳоро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Зарби скалярии \(k\) ба вектори \(\mathbf{A}\) бо роҳи зарб кардани ҳар як ҷузъи вектор ба он скаляр анҷом дода мешавад. Ҳамин тариқ, мо дорем:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Қиматҳои додашударо иваз кунед:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Пас, натиҷаи зарби скалярии \(k\) ба вектори \(\mathbf{A}\) \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) мешавад.
Саволи 4: Дарозии вектор
Дарозии (андозаи) вектори \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Дарозӣ ё бузургии вектори \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\)-ро бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб кардан мумкин аст:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Қиматҳои додашударо иваз кунед:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Пас, дарозии вектори \(\mathbf{A}\) ба 3 баробар аст.
Саволи 5: Маҳсулоти нуқтаӣ
Ду вектор дода шудааст, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) ва \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). Ҳосили нуқтавии ин ду векторро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Ҳосили нуқтавии ду вектори \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ва \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) бо роҳи зарб кардани ҷузъҳои мувофиқ ва сипас ҷамъ кардани онҳо анҷом дода мешавад. Ҳамин тариқ, мо дорем:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Қиматҳои додашударо иваз кунед:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Пас, зарби нуқтавии векторҳои \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) ба -2 баробар аст.
Саволи 6: Маҳсулоти байниҳамдигарӣ
Ду вектор дода шудааст, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) ва \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). Ҳосили байниҳамдигарии ин ду векторро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Ҳосили байниҳамдигарии ду вектори \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ва \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) бо истифода аз формулаи зерин иҷро карда мешавад:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
Қиматҳои додашударо иваз кунед:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
Пас, ҳосили байни векторҳои \(\mathbf{A}\) ва \(\mathbf{B}\) баробар аст \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\).
Хулоса
Векторҳои сеченака дар системаи координатаҳои декартӣ воситаҳои муҳим дар соҳаҳои гуногуни илм ва муҳандисӣ мебошанд. Тавассути мисолҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда, мо дидем, ки чӣ гуна амалҳои гуногуни асосиро бо векторҳо, ба монанди ҷамъ, тарҳ, зарби скалярӣ ва маҳсулоти нуқта ва салибӣ иҷро кардан мумкин аст. Фаҳмиши амиқи ин мафҳумҳо на танҳо дар математика, балки дар татбиқи амалӣ дар физика, муҳандисӣ ва илми компютерӣ низ бебаҳо хоҳад буд.
