Намунаҳои саволҳо ва муҳокима: Дисперсия ва инҳирофи стандартии маълумоти ягона
Омор як соҳаи математика аст, ки ба ҷамъоварӣ, таҳлил, тафсир, пешниҳод ва ташкили маълумот машғул аст. Ду мафҳуми муҳим дар омор дисперсия ва инҳирофи стандартӣ мебошанд. Дар ин мақола муфассал баррасӣ карда мешавад, ки чӣ гуна дисперсия ва инҳирофи стандартии маҷмӯи додаҳоро тавассути якчанд масъалаҳои намунавӣ ҳисоб кардан мумкин аст.
Фаҳмидани дисперсия ва инҳирофи стандартӣ
Тағйирпазирӣ ченакест, ки муайян мекунад, ки рақамҳо дар маҷмӯи додаҳо то чӣ андоза аз миёна ё миёна паҳн шудаанд. Тағйирпазирӣ бо воҳидҳои мураббаъи маълумоти аслӣ ифода карда мешавад, ки аксар вақт тафсири онро душвор мегардонад.
Инҳирофи стандартӣ решаи квадратии дисперсия аст. Он ченаки интуитивии он аст, ки маълумот умуман аз миёна то чӣ андоза дур мешавад, зеро воҳидҳои он бо воҳидҳои аслии маълумот якхелаанд.
Формулаи умумӣ
Барои маълумоти алоҳида, формулаи дисперсия \( \sigma^2 \) ва инҳирофи стандартӣ \( \sigma \)-и популятсия чунин аст:
1. Дисперсия (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Инҳирофи стандартӣ (σ):
\( \sigma = \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Ди мана:
– \( N \) шумораи маълумот дар популятсия аст.
– \( x_i \) арзиши маълумоти ith аст.
– \( \mu \) миёна ё миёнаи маълумот аст.
Агар мо дисперсия ва инҳирофи стандартии намунаро ҳисоб кунем, пас формулаи дар боло овардашуда каме тағйир ёфтааст:
1. Тағйирёбии намуна (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Намунаи инҳирофи стандартӣ (инҳирофҳо):
\( s = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Ди мана:
– \( n \) шумораи додаҳо дар намуна аст.
– \( \bar{x} \) миёна ё миёнаи намуна аст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1:
Бо назардошти маълумоти зерин:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Дисперсия ва инҳирофи стандартии маълумотро ҳисоб кунед!
Қадамҳои ҳалли масъала:
1. Ҳисоб кардани миёна (миёна) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Фарқи байни маълумот ва миёнаро ҳисоб кунед, сипас квадратро:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Илова кардани ҳамаи натиҷаҳои квадратӣ:
\[
\сум (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Ҳисоб кардани дисперсия (σ²)-и маълумоти аҳолӣ:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Эзоҳ: Азбаски ин маълумот ҳамчун маълумоти аҳолӣ нишон дода шудааст, мо онро ба 6 тақсим мекунем.
5. Ҳисоб кардани инҳирофи стандартӣ (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \тақрибан 1.886
\]
Пас, дисперсияи маълумот 3.559 ва инҳирофи стандартӣ 1.886 аст.
Намунаи саволи 2:
Бо назардошти маълумоти намунавии зерин:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Дисперсия ва инҳирофи стандартии намунаро ҳисоб кунед!
Қадамҳои ҳалли масъала:
1. Ҳисоб кардани миёна (миёна) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Фарқи байни маълумот ва миёнаро ҳисоб кунед, сипас квадратро:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Илова кардани ҳамаи натиҷаҳои квадратӣ:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Ҳисоб кардани дисперсияи намуна (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Эзоҳ: Азбаски ин маълумоти намунавӣ аст, мо онро ба 5 (n-1) тақсим мекунем.
5. Ҳисоб кардани инҳироф(ҳо)-и стандартӣ:
\[
s = \sqrt{5.351} \тақрибан 2.313
\]
Пас, дисперсияи маълумоти намунавӣ 5.351 ва инҳирофи стандартӣ 2.313 аст.
Хулоса
Ҳисоб кардани дисперсия ва инҳирофи стандартӣ барои фаҳмидани он ки паҳншавии додаҳо дар дохили маҷмӯи додашуда чӣ гуна аст, муҳим аст. Дар ҳоле ки дисперсия ченаки назариявии парокандагиро дар мураббаъҳои воҳидҳои аслӣ таъмин мекунад, инҳирофи стандартӣ ченаки парокандагиро аз нигоҳи воҳидҳои аслии додаҳо шарҳ медиҳад, ки фаҳмидани онро осонтар мекунад. Дар таҳлили додаҳо, ин ду ченак аксар вақт барои арзёбии тағйирпазирии додаҳо ва қабули қарорҳои оморӣ истифода мешаванд.
Бо дарки қадамҳо ва формулаҳои зарурӣ, мо метавонем ба осонӣ дисперсия ва инҳирофи стандартиро барои вазъиятҳои гуногуне, ки мо ҳангоми ҷамъоварӣ ва таҳлили маълумоти ҳаррӯза бо онҳо дучор мешавем, ҳисоб кунем. Умедворем, ки ин мақола фаҳмиши амиқтари мафҳумҳои дисперсия ва инҳирофи стандартиро дар маҷмӯи додаҳои алоҳида фароҳам меорад.
