Намунаҳои саволҳо дар бораи се таносуби тригонометрӣ
Тригонометрия як соҳаи математика аст, ки муносибати байни дарозӣ ва кунҷҳоро дар секунҷаҳо меомӯзад. Яке аз мафҳумҳои асосии тригонометрия таносубҳои тригонометрӣ мебошанд: синус (sin), косинус (cos) ва тангенс (tan). Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъала ва муҳокимаи ҳамаҷонибаи таносубҳои тригонометрӣ барои осон кардани фаҳмиши шумо баррасӣ карда мешаванд.
1. Фаҳмидани се таносуби тригонометрӣ
Пеш аз ҳама, биёед фаҳмем, ки синус, косинус ва тангенс чӣ маъно доранд.
– Синуси (синуси) кунҷ ин нисбати дарозии тарафи муқобили кунҷ ба дарозии гипотенузаи секунҷа аст.
– Косинуси (cos)-и кунҷ ин нисбати дарозии тарафи ҳамшафати кунҷ ба дарозии гипотенузаи секунҷа аст.
– Тангенс (тан)-и кунҷ ин нисбати дарозии тарафи муқобили кунҷ ба дарозии тарафи ҳамшафат аст. Тангенсро инчунин метавон ҳамчун қисмати синус ва косинус ифода кард: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. Саволҳои намунавӣ ва муҳокима
Саволи 1:
Секунҷаи росткунҷа бо гипотенуза 10 см ва кунҷи тарафи муқобил θ 6 см дода шудааст. Қиматҳои sin, cos ва tan-и кунҷи θ-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Барои ёфтани арзишҳои sin(θ), cos(θ) ва tan(θ), мо инчунин бояд дарозии тарафи ҳамшафатро донем. Биёед теоремаи Пифагорро барои ёфтани дарозии тарафи ҳамшафат истифода барем.
Теоремаи Пифагор:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
ки дар он c гипотенуза, a тарафи муқобили кунҷ ва b тарафи ҳамшафати кунҷ аст.
Дода шудааст:
– Гипотенуза (с) = 10 см
– Тарафи пеши кунҷи θ (a) = 6 см
Пас:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[ 36 + b^2 = 100 \]
\[ b^2 = 64 \]
\[ b = \sqrt{64} \]
\[b = 8 \]
Пас, дарозии тарафи (b) 8 см аст.
Баъдан, мо метавонем арзишҳои синус, косинус ва тангенсро ҳисоб кунем:
– Син(θ) = Тарафи муқобил / Гипотенуза
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = Тарафи паҳлӯӣ / Гипотенуза
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Тан(θ) = Тарафи пеш / Тарафи паҳлӯ
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
Саволи 2:
Секунҷаи росткунҷае дода шудааст, ки дарозии тарафи муқобили кунҷи α 5 см ва дарозии тарафи ҳамшафати кунҷи α 12 см аст. Қимматҳои sin, cos ва tan-и кунҷи α-ро ёбед.
Муҳокима:
Мисли саволи 1, биёед теоремаи Пифагорро барои ёфтани дарозии гипотенуза истифода барем.
Дода шудааст:
– Тарафи пеши кунҷи α (a) = 5 см
– Тарафи кунҷи α (b) = 12 см
Теоремаи Пифагорро истифода баред:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[25 + 144 = c^2 \]
\[ 169 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{169} \]
\[ c = 13 \]
Пас, дарозии гипотенуза (c) 13 см аст.
Баъдан, мо метавонем арзишҳои синус, косинус ва тангенсро ҳисоб кунем:
– Син(α) = Тарафи муқобил / Гипотенуза
\[ \sin(α) = \frac{5}{13} \]
– Cos(α) = Тарафи паҳлӯӣ / Гипотенуза
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Тан(α) = Тарафи пеш / Тараф
\[ \tan(α) = \frac{5}{12} \]
Саволи 3:
Агар маълум бошад, ки sin β = 0.6 ва кунҷи β дар квадранти I ҷойгир аст, арзишҳои cos β ва tan β-ро ёбед.
Муҳокима:
Бо назардошти sin β = 0.6
Мо медонем, ки дар квадранти I арзиши cos β низ мусбат аст.
Аз ҳамонандиҳои асосии тригонометрӣ истифода баред:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ 0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ \cos^2(β) = 1 – 0.36 \]
\[ \cos^2(β) = 0.64 \]
\[ \cos(β) = \sqrt{0.64} \]
\[ \cos(β) = 0.8 \]
Баъдан, мо метавонем арзиши тангенсро ҳисоб кунем:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
\[ \tan(β) = 0.75 \]
3. Кесимпулан
Мафҳуми сегонаи тригонометрӣ (sin, cos, tan) барои дарки умумии тригонометрия муҳим ва асосӣ аст. Бо фаҳмидани тарзи ёфтан ва ҳисоб кардани ин се арзиш дар намудҳои гуногуни секунҷаҳо, шумо метавонед доираи васеи масъалаҳои тригонометриро ҳал кунед. Масъалаҳои дар боло баррасӣшуда бояд ба шумо дар фаҳмидани тарзи татбиқи ин мафҳумҳо дар заминаҳои гуногун кӯмак расонанд.
Фаҳмиши амиқи тригонометрия инчунин барои шумо омӯхтани мавзӯъҳои пешрафтаи риёзӣ ва илмӣ, аз қабили ҳисоб ва физика, осонтар мекунад. Барои расидан ба сатҳи баланди тахассус, аз машқ кардан ва амиқтар кардани фаҳмиши ин мафҳумҳо шарм надоред.
