Намунаҳои саволҳо ва муҳокимаҳо дар бораи кунҷҳои махсус дар таносубҳои тригонометрӣ
Тригонометрия як соҳаи математика аст, ки муносибатҳои байни тарафҳо ва кунҷҳои секунҷаҳоро меомӯзад. Як мафҳуми муҳим дар тригонометрия истифодаи кунҷҳои махсус барои фаҳмидани таносубҳои тригонометрӣ мебошад. Кунҷҳои махсуси маъмулан истифодашаванда 0°, 30°, 45°, 60° ва 90°-ро дар бар мегиранд. Дар ин мақола мисолҳо шарҳ дода мешаванд ва кунҷҳои махсус дар таносубҳои тригонометрӣ баррасӣ мешаванд.
Муқаддима ба кунҷҳои махсус
Кунҷҳои махсус аз таҳлили секунҷаҳои махсус, ба монанди секунҷаҳои баробарпаҳлӯ ва баробарпаҳлӯ ба даст оварда мешаванд. Дар ин ҷо арзишҳои асосии тригонометрӣ барои кунҷҳои махсус барои азёд кардан оварда шудаанд:
| Кунҷи (θ) | Син(θ) | Cos(θ) | Тан(θ) |
|———–|——––|——––|——––|——––|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | – |
Бо донистани ин арзишҳои асосӣ, мо метавонем масъалаҳои гуногунро бо таносубҳои тригонометрии кунҷҳои махсус ҳал кунем.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Биёед ба баъзе саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои онҳо назар андозем:
Намунаи саволи 1
Савол:
Қимати \( \sin(30°) + \cos(60°) \)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Мо арзишҳои асосии тригонометрияи кунҷи махсусро истифода мебарем.
\[
\sin(30°) = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos(60°) = \frac{1}{2}
\]
Пас,
\[
\sin(30°) + \cos(60°) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]
Ҳамин тавр, \( \sin(30°) + \cos(60°) = 1 \).
Намунаи саволи 2
Савол:
Қимати \( \tan(45°) \times \cos(45°) \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Мо арзишҳоро аз ҷадвали кунҷҳои махсус истифода мебарем.
\[
\tan(45°) = 1
\]
\[
\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Пас,
\[
\tan(45°) \times \cos(45°) = 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Пас, \( \tan(45°) \times \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Намунаи саволи 3
Савол:
Агар \( \sin(θ) = \cos(θ) \) бошад, қимати \(θ \)-ро дар диапазони 0° то 90° муайян кунед.
Муҳокима:
Аз муносибатҳои асосии тригонометрия:
\[
\sin(θ) = \cos(θ)
\]
Ин маънои онро дорад, ки \( \tan(θ) = 1 \).
Қимати \(θ \), ки муодилаи \(\tan(θ) = 1 \)-ро қонеъ мекунад, 45° аст.
Пас, \(θ = 45° \).
Намунаи саволи 4
Савол:
Қимати \( \frac{\sin(30°)}{\cos(60°)} \)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Мо арзишҳоро аз ҷадвали кунҷҳои махсус истифода мебарем.
\[
\sin(30°) = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos(60°) = \frac{1}{2}
\]
Пас,
\[
\frac{\sin(30°)}{\cos(60°)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1
\]
Ҳамин тавр, \( \ frac {\ sin (30 °)}} \ cos (60 °)} = 1 \).
Намунаи саволи 5
Савол:
Қимати \( \cos(30°) \times \tan(60°) \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Мо арзишҳоро аз ҷадвали кунҷҳои махсус истифода мебарем.
\[
\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\tan(60°) = \sqrt{3}
\]
Пас,
\[
\cos(30°) \times \tan(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2}
\]
Пас, \( \cos(30°) \times \tan(60°) = \frac{3}{2} \).
Намунаи саволи 6
Савол:
Қимати \(2 \sin(45°) \cos(45°) \).-ро ёбед.
Муҳокима:
Мо арзишҳоро аз ҷадвали кунҷҳои махсус истифода мебарем.
\[
\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Бино бар ин,
\[
2 \sin(45°) \cos(45°) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \times \frac{2}{4} = 1
\]
Ҳамин тавр, \( 2 \sin(45°) \cos(45°) = 1 \).
Намунаи саволи 7
Савол:
Қимати \( \csc(30°) \)-ро муайян кунед.
Муҳокима:
\( \csc(θ) \) баръакси \( \sin(θ) \) аст.
\[
\sin(30°) = \frac{1}{2}
\]
Пас,
\[
\csc(30°) = \frac{1}{\sin(30°)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Пас, \( \csc(30°) = 2 \).
Намунаи саволи 8
Савол:
Қимати \( \cot(60°) \)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
\( \cot(θ) \) баръакси \( \tan(θ) \) аст.
\[
\tan(60°) = \sqrt{3}
\]
Пас,
\[
\cot(60°) = \frac{1}{\tan(60°)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
Пас, \( \cot(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Намунаи саволи 9
Савол:
Агар \( \theta \) кунҷе бошад, ки арзиши тригонометрии он \( \sin( \theta) = \cos(45°) \) бошад, арзиши \( \theta \)-ро дар диапазони аз 0° то 90° ёбед.
Муҳокима:
Аз ҷадвали кунҷҳои махсус:
\[
\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Пас,
\[
\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Рӯшан аст,
\[
\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Пас, \( \theta = 45° \).
Хулоса
Донистани кунҷҳои махсус ва арзишҳои асосии тригонометрӣ барои фаҳмидани мафҳумҳои тригонометрӣ ва ҳалли масъалаҳои гуногуни математикӣ муҳим аст. Бо машқи дуруст, азёд кардани ҷадвали кунҷҳои махсус осонтар мешавад ва ҳалли масъалаҳои тригонометрӣ зудтар ва самараноктар мегардад.
Ниҳоят, дар ин мақола баъзе мисолҳои масъалаҳо ва муҳокимаҳо дар бораи кунҷҳои махсус пешниҳод карда мешаванд, ки ба шумо дар фаҳмидани тарзи истифодаи амалияи арзишҳои тригонометрии кунҷи махсус кӯмак мерасонанд. Умедворем, ки ин мақола дар омӯзиши шумо муфид буд!
