Намунаҳои масъалаҳое, ки дар бораи гардиши математикӣ муҳокима карда мешаванд
Пендахулуан
Гардиш табдили геометрӣ аст, ки дар математика, бахусус геометрия, зуд-зуд дучор мешавад. Гардиш гардиши объектро дар атрофи нуқтаи мушаххас (маркази гардиш) тавассути кунҷи муайян дар самти ақрабаки соат ё баръакси ақрабаки соат дар бар мегирад. Татбиқи мафҳуми гардиш дар соҳаҳо ба монанди графикаи компютерӣ, физика ва муҳандисӣ муҳим аст. Дар ин мақола мисолҳо ва муҳокимаҳои гуногуни гардиш дар математика баррасӣ карда мешаванд.
Фаҳмидани гардиш
Гардиш табдилест, ки ҳар як нуқтаи объектро бо гардиши он дар атрофи нуқтаи муқаррар, ки маркази гардиш номида мешавад, бо кунҷи муайян дар самти муайян ҳаракат медиҳад. Ибораи умумии гардиш бо кунҷи θ ва маркази гардиш (a, b) метавонад ҳамчун R_(a, b)(θ) навишта шавад.
Барои нуқтаи P(x, y), ки бо θ дараҷа бо маркази гардиш дар нуқтаи ибтидоӣ (0, 0) гардиш мекунад, координатаҳои нави P' (x', y') пас аз гардиш бо истифода аз формулаи зерин ба даст оварда мешаванд:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Биёед бо баъзе мисолҳои масъалаҳои гардиш, ки пурра бо муҳокимаҳои онҳо анҷом дода шудаанд, идома диҳем.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1
Савол: Координатаҳои нави нуқтаи A(3, 4)-ро пас аз гардиши 90 дараҷа баръакси самти ақрабаки соат бо маркази гардиш дар нуқтаи ибтидоӣ (0, 0) муайян кунед.
Баҳс: Истифодаи формулаи гардиш бо кунҷи 90 дараҷа баръакси самти ақрабаки соат:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Пас, координатаҳои нави A' пас аз гардиш (-4, 3) мебошанд.
Намунаи саволи 2
Савол: Нуқтаи B(2, -1) 180 дараҷа дар самти ақрабаки соат гардиш карда мешавад ва маркази гардиш дар нуқтаи ибтидоӣ (0, 0) боқӣ мемонад. Координатаҳои нави нуқтаи B-ро пас аз гардиш муайян кунед.
Баҳс: Гардиши 180 дараҷа ё дар самти ақрабаки соат ё баръакси ақрабаки соат натиҷаи якхела медиҳад, яъне координатаҳои нуқта ба (-x, -y) тағйир меёбанд.
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Пас, координатаҳои нави B' (-2, 1) мебошанд.
Намунаи саволи 3
Савол: Нуқтаи C(-3, 5) 270 дараҷа муқобили ақрабаки соат гардиш карда мешавад, ки маркази гардиш дар нуқтаи ибтидоӣ (0, 0) қарор дорад. Нуқтаи C-ро пас аз гардиш муайян кунед.
Баҳс: Гардиши 270 дараҷа баръакси ақрабаки соат ба гардиши 90 дараҷа дар самти ақрабаки соат баробар аст.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Пас, координатаҳои нави C' пас аз гардиш (5, -3) мебошанд.
Намунаи саволи 4
Савол: Координатаҳои нави нуқтаи D(5, 5)-ро пас аз гардиши 45 дараҷа бо маркази гардиш дар нуқтаи ибтидоӣ (0, 0) муайян кунед.
Баҳс: Истифодаи формулаи гардиш бо кунҷи 45 дараҷа:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Пас, координатаҳои нави D' пас аз гардиш (0, 5√2) мебошанд.
Гардиш бо маркази гардиш дар ибтидо нест
Гардишҳо на ҳамеша дар атрофи нуқтаи ибтидоӣ анҷом дода мешаванд. Масалан, фарз мекунем, ки мо мехоҳем нуқтаеро бо маркази гардиш (h, k) гардонем. Барои ин, мо бояд координатаҳоро чунин танзим кунем:
1. Нуқтаро тавре тарҷума кунед, ки (h, k) нуқтаи ибтидоӣ гардад.
2. Формулаи гардишро истифода баред.
3. Ба мавқеи аввала баргардонед.
Намунаи саволи 5
Савол: Нуқтаи E(5, 7) 90 дараҷа муқобили ақрабаки соат гардонида шудааст, ки маркази гардиш дар нуқтаи (2, 3) қарор дорад. Координатаҳои нави нуқтаи E-ро пас аз гардиш муайян кунед.
Муҳокима:
1. Нуқтаи E-ро нисбат ба маркази гардиш (2, 3) ба нуқтаи ибтидоӣ табдил диҳед:
– Нуқтаи нав E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Дар атрофи нуқтаи нав 90 дараҷа баръакси самти ақрабаки соат гардонед:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Пас, координатаҳо пас аз гардиш (-4, 3) мебошанд.
3. Баргардонидан ба мавқеи аввала нисбат ба маркази гардиш (2, 3):
– Нуқтаи ниҳоӣ E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Пас, координатаҳои нави нуқтаи E пас аз гардиш (-2, 6) мебошанд.
Хулоса
Таҳлил ва дарки гардишҳои математикӣ дар татбиқҳои гуногун муҳим аст. Тавассути мисолҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда, аз хонандагон интизор меравад, ки фаҳманд, ки формулаҳои гардиш чӣ гуна кор мекунанд ва чӣ гуна онҳоро дар вазъиятҳои гуногун татбиқ кардан мумкин аст. Ин машқ на танҳо математикаи асосиро тақвият медиҳад, балки дар дигар соҳаҳое, ки табдилоти геометриро дар бар мегиранд, низ муфид аст.
