Намунаҳои саволҳо дар бораи афзоиши экспоненсиалӣ
Афзоиши экспоненсиалӣ мафҳуми калидӣ дар бисёр соҳаҳо, аз ҷумла иқтисод, биология, тиҷорат ва физика мебошад. Дар ҳаёти ҳаррӯза мо аксар вақт бо вазъиятҳое дучор мешавем, ки афзоиши экспоненсиалиро дар бар мегиранд, ба монанди афзоиши аҳолии инсон, коҳиши арзишҳои номиналӣ аз сабаби таваррум, паҳншавии вирусҳо ва бисёр чизҳои дигар. Дар ин мақола масъалаҳои гуногуни намунавӣ ва роҳҳои ҳалли марбут ба афзоиши экспоненсиалӣ баррасӣ мешаванд ва ба хонандагон кӯмак мекунанд, ки ин мафҳумро беҳтар дарк кунанд.
Мафҳумҳои асосии афзоиши экспоненсиалӣ
Афзоиши экспоненсиалӣ ҳамчун афзоише муайян карда мешавад, ки бо суръати доимӣ дар як воҳиди вақт ба амал меояд. Аз ҷиҳати математикӣ, афзоиши экспоненсиалиро бо муодилаи зерин муайян кардан мумкин аст:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Ди мана:
– \( N(t) \) ҷамъ дар вақти \(t \) аст
– \( N_0 \) рақами ибтидоӣ аст
– \( k \) суръати афзоиш аст
– \( t \) вақт аст
– \( e \) адади Эйлер аст (тақрибан 2.718)
Агар қимати \(k\) мусбат бошад, пас мо афзоиши экспоненсиалӣ дорем. Баръакс, агар \(k\) манфӣ бошад, мо коҳиши экспоненсиалӣ дорем.
Намунаи саволи 1: Афзоиши аҳолӣ
Савол
Аҳолии шаҳр дар ибтидо 100,000 нафарро ташкил медод. Агар аҳолии шаҳр бо суръати экспоненсиалии 2% дар як сол афзоиш ёбад, пас аз 10 сол аҳолии шаҳр чӣ қадар хоҳад буд?
Пенилесянӣ
Аввалан, мо бояд арзишҳои маълумро муайян кунем:
– \( N_0 \) = 100,000
– \( k \) = 2% дар як сол = 0.02
– \( t \) = 10 сол
Мо формулаи афзоиши экспоненсиалиро истифода мебарем:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Арзишҳои маълумро ба формула ворид кунед:
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \]
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
Қимати тақрибии \( e^{0.2} \) тақрибан 1.2214 аст.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
Пас, аҳолии шаҳр пас аз 10 сол тақрибан 122,140 нафарро ташкил медиҳад.
-
Намунаи саволи 2: Арзиши сармоягузорӣ
Савол
Шумо 5,000 долларро ба суратҳисобе мегузоред, ки фоизи солонаи 5%-ро пардохт мекунад. Пас аз 15 сол пасандози шумо чӣ қадар арзиш хоҳад дошт?
Пенилесянӣ
Арзишҳоро муайян кунед:
– \( N_0 \) = 5,000
– \( k \) = 5% дар як сол = 0.05
– \( t \) = 15 сол
Истифодаи формулаи афзоиши экспоненсиалӣ:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.05 \cdot 15} \]
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
Тақрибан \(e^{0.75} \) тақрибан 2.117 аст.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
Пас, арзиши пасандозҳои шумо пас аз 15 сол тақрибан 10,585 долларро ташкил медиҳад.
-
Мисоли 3: Амортизатсияи мошин
Савол
Арзиши мошини нави 30,000 долларӣ бо суръати 12% дар як сол ба таври экспоненсиалӣ коҳиш меёбад. Пас аз 5 сол арзиши мошин чӣ қадар хоҳад буд?
Пенилесянӣ
Арзишҳоро муайян кунед:
– \( N_0 \) = 30,000
– \( k \) = -12% дар як сол = -0.12
– \( t \) = 5 сол
Истифодаи формулаи афзоиши экспоненсиалӣ:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \]
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6} \]
Тақрибан \(e^{-0.6} \) тақрибан 0.5488 аст.
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
Пас, арзиши мошин пас аз 5 сол тақрибан 16,464 долларро ташкил медиҳад.
-
Намунаи саволи 4: Паҳншавии вирусҳо
Савол
Шаҳре, ки аҳолии ибтидоии он 200 нафар буд, бо суръати афзоиши экспоненсиалии 15% дар як рӯз ба вирус сироят ёфтааст. Шумораи умумии одамони сироятёфта пас аз 7 рӯз чанд аст?
Пенилесянӣ
Арзишҳоро муайян кунед:
– \( N_0 \) = 200
– \( k \) = 15% дар як рӯз = 0.15
– \( t \) = 7 рӯз
Истифодаи формулаи афзоиши экспоненсиалӣ:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[ N(7) = 200 \cdot e^{0.15 \cdot 7} \]
\[ N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
Тақрибан \(e^{1.05} \) тақрибан 2.857 аст.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
Пас, шумораи умумии сироятёфтагон пас аз 7 рӯз тақрибан 571 нафарро ташкил медиҳад.
-
Инҳо мисолҳои масъалаҳо ва муҳокимаҳои марбут ба афзоиши экспоненсиалӣ мебошанд. Фаҳмидани тарзи ҳалли масъалаҳои афзоиши экспоненсиалӣ метавонад дар татбиқҳои гуногуни амалии воқеӣ хеле муфид бошад. Бо таҷрибаи кофӣ, ин мафҳумро ба осонӣ аз худ кардан ва дар ҳолати зарурӣ татбиқ кардан мумкин аст.
