Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи татбиқи интегралҳо ҳангоми ҳисоб кардани масоҳати ҳамвор
Дар таълими математика, интегралҳо аксар вақт дар ҳисобкунӣ дучор мешаванд. Яке аз маъруфтарин татбиқҳои интегралҳо ҳисоб кардани масоҳати зери каҷ ё ҳамворӣ мебошад. Дар ин мақола якчанд масъалаҳои намунавӣ баррасӣ ва татбиқи интегралҳо барои ҳисоб кардани масоҳати ҳамворӣ баррасӣ карда мешавад.
Муқаддима ба назария
Пеш аз гузаштан ба масъалаи мисолӣ, биёед мафҳуми асосии ҳисоб кардани масоҳати зери каҷро бо истифода аз интегралҳо баррасӣ кунем. Агар мо функсияи f(x) дошта бошем, ки дар фосилаи [a, b] пайваста бошад, пас масоҳати зери каҷро аз x = a то x = b чунин аст:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Аз ҷиҳати геометрӣ, ин маънои онро дорад, ки мо масоҳати росткунҷаи хеле тунукро аз x = a то x = b ҷамъ мекунем.
Намунаи саволи 1
Савол
Масоҳати зери хати каҷи y = x²-ро дар фосилаи [1, 3] ҳисоб кунед.
Пембахасан
Барои ҳисоб кардани масоҳат, мо интегралро истифода мебарем:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Мо бо ёфтани антиҳосилаи \(x^2 \) оғоз мекунем. Антиҳосилаи \(x^2 \) \( \frac{x^3}{3} \) аст. Пас интеграл чунин мешавад:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Дар хотир доред, ки мо бояд антидеривативро дар ҳудуди интеграл арзёбӣ кунем:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{3} \right) – \left( \frac{27}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Пас, масоҳати зери хати каҷи y = x² аз x = 1 то x = 3 чунин аст:
\[ \frac{26}{3} \, \text{воҳиди масоҳат} \]
Намунаи саволи 2
Савол
Масоҳати минтақаеро муайян кунед, ки бо хати каҷи y = x³ ва хатҳои x = 1 ва x = 2 маҳдуд аст.
Пембахасан
Барои ҳисоб кардани масоҳат, мо интегралро истифода мебарем:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Мисли ҳамеша, мо бо ёфтани антиҳосилаи \(x^3 \) оғоз мекунем. Антиҳосилаи \(x^3 \) \( \frac{x^4}{4} \) аст. Интеграл чунин мешавад:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Ҳудудҳои интегралро ҳисоб кунед:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{4} \right) – \left( \frac{16}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Пас, масоҳати зери хати каҷи y = x³ аз x = 1 то x = 2 чунин аст:
\[ \frac{15}{4} \, \text{воҳиди масоҳат} \]
Намунаи саволи 3
Савол
Масоҳати минтақаеро, ки бо хатҳои y = x² + 1 ва y = 2x + 2 дар фосилаи x = 0 то x = 1 маҳдуд аст, муайян кунед.
Пембахасан
Аввалан, мо бояд нуқтаҳои буришро пайдо кунем, то ҳудудҳои интегралро муайян кунем. Ҳалли \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Истифодаи формулаи квадратӣ:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Аммо, барои маҳдудиятҳои болоӣ ва поёнӣ байни 0 ва 1, ба мо лозим нест, ки ҳалли квадратиро истифода барем, танҳо маҳдудияти интегралии муқаррарӣ аз 0 то 1. Сипас, масоҳати каҷхати болоии y-ро аз тарҳи каҷхати поёнии y мувофиқи ин маҳдудиятҳо ҳисоб кунед:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Соддасозии функсия:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Сипас, мо антидеривативро меёбем:
Антиҳосилаи \( (-x^2) \) ин аст \( -\frac{x^3}{3} \),
Антиҳосилаи \( (2x) \) ин аст \( x^2 \),
Антиҳосилаи \( (1) \) \( x \) аст.
Бино бар ин,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Арзёбии навбатӣ:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Пас, масоҳати минтақае, ки бо хати каҷҳои y = x² + 1 ва y = 2x + 2 дар фосилаи [0, 1] маҳдуд аст, чунин аст:
\[ \frac{5}{3} \, \text{воҳиди масоҳат} \]
-
Аз мисолҳои дар боло овардашуда, мо мебинем, ки чӣ гуна интегралҳоро барои ҳисоб кардани масоҳати зери каҷ ё байни ду каҷ истифода бурдан мумкин аст. Бо дарки дурусти мафҳумҳои асосии интегралҳо ва усулҳои зиддидеривативӣ, ҳисоб кардани ин масоҳатҳо хеле систематикӣ ва самаранок мегардад. Умедворем, ки ин мақола фаҳмиши моро дар бораи татбиқи интегралҳо дар ҷаҳони воқеӣ, бахусус дар соҳаи чен кардани масоҳати сатҳҳои ҳамвор, афзун кардааст.
