Намунаи саволи баҳсӣ дар бораи арзиши интизории тақсимоти муқаррарӣ
Тақсимоти муқаррарӣ, ки бо номи тақсимоти Гаусс низ маълум аст, яке аз тақсимоти эҳтимолияти пайвастаи зуд-зуд истифодашаванда дар омор ва эҳтимолият мебошад. Ин тақсимот аксар вақт ҳамчун фарзияи асосӣ дар хулосаҳои гуногуни оморӣ истифода мешавад, зеро хосиятҳои мусоиди математикии он, ба монанди симметрия ва беназирии он дар параметризатсия бо миёна (µ) ва инҳирофи стандартӣ (σ) мебошанд. Дар ин мақола мисолҳо ва арзиши интизории тақсимоти муқаррарӣ барои фаҳмиши амиқтари ин мафҳум баррасӣ карда мешаванд.
Фаҳмидани тақсимоти муқаррарӣ
Тақсимоти муқаррарӣ бо хати зангӯлаи симметрӣ тасвир шудааст, ки аксари арзишҳо дар атрофи арзиши миёна ё миёна мутамарказ шудаанд. Дар дохили ин тақсимот, миёна (µ) ва инҳирофи стандартӣ (σ) ду параметри муҳим мебошанд, ки макон ва миқдори паҳншавиро дар маълумот муайян мекунанд.
Функсияи зичии эҳтимолият (PDF)-и тақсимоти муқаррарӣ чунин аст:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
ди мана:
– \( \mu \) миёна ё миёна аст
– \( \sigma \) инҳирофи стандартӣ аст
– \( x \) як тағйирёбандаи тасодуфӣ аст
Арзиши интизоршаванда дар тақсимоти муқаррарӣ
Қимати интизоршавандаи як тағйирёбандаи тасодуфӣ бо тақсимоти муқаррарӣ ба миёнаи тақсимот баробар аст. Агар \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \), пас қимати интизоршаванда \(E(X) \) чунин аст:
\[ E(X) = \mu \]
Биёед бо баъзе мисолҳои мушкилот дар бораи арзишҳои интизорӣ дар тақсимоти муқаррарӣ идома диҳем, то фаҳмиши худро тақвият диҳем.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1:
Фарз мекунем, ки \(X \) як тағйирёбандаи тасодуфии муқаррарӣ тақсимшуда бо \(\mu = 50 \) ва \(\sigma = 10 \) аст. Қимати интизории \(X \)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Тавре ки қаблан қайд карда шуд, дар тақсимоти муқаррарӣ, арзиши интизоршавандаи \(E(X) \) ба \( \mu \) баробар аст. Пас,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Намунаи саволи 2:
Агар як тағйирёбандаи тасодуфии \(Y\) муқаррарӣ бо \(\mu = 120\) ва \(\sigma = 15\) тақсим карда шавад, арзиши интизоршудаи \(Y\)-ро ёбед.
Муҳокима:
Ба монанди мисоли аввал, арзиши интизоршудаи \(Y\) арзиши миёна ё миёнаи тақсимоти муқаррарӣ аст, яъне:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Намунаи саволи 3:
Агар тағйирёбандаи тасодуфии \(Z\) аз тақсимоти муқаррарӣ бо \(\mu = 0\) ва \(\sigma = 1\) (тақсимоти муқаррарии стандартӣ) пайравӣ кунад, арзиши интизоршудаи \(Z\) чанд аст?
Муҳокима:
Тақсимоти муқаррарии стандартӣ арзиши миёнаи \(\mu = 0 \) дорад, аз ин рӯ арзиши интизоршаванда \(E(Z) \) чунин аст:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Намунаи саволи 4:
Фарз мекунем, ки \(W \) як тағйирёбандаи тасодуфии муқаррарӣ тақсимшуда бо миёнаи \(\mu = 75 \) ва инҳирофи стандартӣ \(\sigma = 20 \) аст. Агар мо як тағйирёбандаи тасодуфии нав \(V = 2W + 3 \)-ро муайян кунем, арзиши интизоршудаи \(V \) чанд аст?
Муҳокима:
Барои ёфтани арзиши интизоршавандаи \(V\), мо бояд хосияти хаттии арзиши интизоршавандаро истифода барем. Агар \(V = 2W + 3\) дода шавад, пас:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Бар асоси хосияти хаттии арзиши интизоршаванда, мо метавонем доимиро аз тағйирёбандаи тасодуфӣ ҷудо кунем:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Донистани он ки арзиши интизоршавандаи як доимӣ худи як доимӣ аст:
\[ E(3) = 3 \]
Ва арзиши интизоршудаи \(W\) миёнаи тақсимоти муқаррарии \(W\) аст:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Пас,
\[E(V) = 2 \зарбаи 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Намунаи саволи 5:
Тағирёбандаи тасодуфии \(Q\) аз тақсимоти муқаррарӣ бо миёнаи \(\mu = 40\) ва инҳирофи стандартӣ \(\sigma = 5\) пайравӣ мекунад. Агар \[U = Q/2\] бошад, арзиши интизоршудаи \(Q\) чанд аст?
Муҳокима:
Мо ҳамон принсиперо, ки дар мисоли 4 оварда шудааст, истифода мебарем, яъне хосияти хаттии арзиши интизоршаванда. Бо назардошти он, ки \( U = Q/2 \), пас:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Бар асоси хосияти хаттии арзиши интизоршаванда:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Мо медонем, ки арзиши интизоршудаи \(Q\) миёнаи тақсимоти муқаррарии \(Q\) аст:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Пас,
\[E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Хулоса
Дар тақсимоти муқаррарӣ, арзиши интизории як тағйирёбандаи тасодуфӣ ҳамеша ба миёнаи (µ) тақсимот баробар аст. Масъалаҳои мисолии дар боло овардашуда шартҳои гуногунро барои ҳисоб кардани арзиши интизорӣ бо истифода аз хосияти хаттӣ нишон медиҳанд. Фаҳмидани ин мафҳуми асосӣ ҳалли масъалаҳои тақсимоти муқаррариро дар омор ва эҳтимолият осонтар мекунад.
Тақсимоти муқаррарӣ дар омор муҳим аст, зеро он дар доираи васеи татбиқҳои амалӣ, аз ҷумла санҷиши фарзияҳо, арзёбии параметрҳо ва дигар хулосаҳои гуногуни оморӣ истифода мешавад. Дарки хуби арзиши интизории ин тақсимот қадами аввалини муҳим дар таҳлили маълумот мебошад.
Умедворам, ки ин мақола шарҳи равшан ва муфиди арзиши интизоршавандаро дар тақсимоти муқаррарӣ дар баробари саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои мувофиқ пешниҳод мекунад.
