Намунаи саволҳои баҳсӣ дар усули хурдтарин квадратҳо
Усули хурдтарин квадратҳо (LEM) усули оморӣ мебошад, ки барои ёфтани хати мувофиқтарин истифода мешавад, ки маълумотро самараноктар пешгӯӣ мекунад. Ин усул аксар вақт дар таҳлили регрессияи хаттӣ барои муайян кардани робитаи байни тағирёбандаҳои мустақил ва вобаста истифода мешавад. Дар ин мақола мафҳумҳои асосии усули хурдтарин квадратҳо, инчунин мисолҳо ва тавзеҳоти зина ба зина барои фаҳмиши амиқтари тарзи кори ин усул баррасӣ карда мешаванд.
Мафҳумҳои асосии усули хурдтарин квадратҳо
Ҳадафи усули хурдтарин квадратҳо кам кардани ҷамъи квадратҳои фарқиятҳои байни арзишҳои мушоҳидашуда ва арзишҳои пешгӯишуда аз ҷониби модели регрессия мебошад. Муодилаи хати оддии регрессияи хаттиро метавон чунин навишт:
\[ y = a + bx \]
Ди мана:
– \( y \) тағйирёбандаи вобаста аст,
– \( x \) тағирёбандаи мустақил аст,
– \( a \) буриш аст (қимати \( y \) ҳангоми \( x = 0 \)),
– \( b \) нишебии хат аст (нишебӣ ё коэффитсиенти регрессия).
Усули квадратҳои хурдтарин параметрҳои \( a \) ва \( b \)-ро ҳисоб мекунад, ки функсияи зеринро кам мекунанд:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
Дар ин ҷо SSE Ҷамъи Хатогиҳои Мураббаъӣ аст, \(y_i \) арзиши воқеӣ ва \(\hat{y_i} = a + bx_i \) арзиши пешбинишуда аст.
Қадамҳои усули хурдтарин квадратҳо
Барои равшан кардани мафҳум, мо масъалаи намунавиро бо истифодаи усули хурдтарин квадратҳо ҳал мекунем.
Намунаи масъалаҳо
Бо назардошти маълумоти зерин:
| x (Соатҳои таҳсил) | y (Холҳои имтиҳон) |
|——————–|———————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Хатти регрессияи хаттиро муайян кунед, ки ба маълумот бештар мувофиқ аст.
Пембахасан
1. Ҳисоб кардани миёнаи \( \bar{x} \) ва \( \bar{y} \)
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Ҳисоб кардани параметри \( b \) (нишебӣ)
Параметри \(b\) бо чунин формула ҳисоб карда мешавад:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
Ҳисоб кардани ҳар як компонент:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Бино бар ин:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Ҳисоб кардани параметри \( a \) (буриш)
Бо истифода аз миёнаи \( \bar{x} \) ва \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Навиштани муодилаи хати регрессия
Бо параметрҳои ёфтшуда, мо метавонем муодилаи хати регрессияро чунин нависем:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Тафсир ва тасдиқ
Барои он ки ин хати регрессия мувофиқат кунад, мо метавонем арзиши пешгӯишудаи y (\(\hat{y}\))-ро барои ҳар як x дар маълумоти ибтидоӣ ҳисоб кунем, инчунин Ҷамъи хатогиҳои квадратӣ (SSE)-ро барои тасдиқи дурустии пешгӯӣ ҳисоб кунем.
| x | y | \(\шало{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Бо SSE нисбатан хурд, мо метавонем хулоса барорем, ки хати регрессия, ки бо усули хурдтарин квадратҳо ҳосил шудааст, барои ин маълумот мувофиқ аст.
Хулоса
Усули хурдтарин квадратҳо як воситаи пуриқтидори таҳлили оморӣ барои муайян кардани хати мувофиқтарин барои маҷмӯи додаҳо мебошад, ки хатогии пешгӯиро дар асоси квадрати инҳирофҳо ба ҳадди ақал мерасонад. Бо истифода аз қадамҳои ҳисоб кардани миёна, арзёбии нишебӣ ва буриш, инчунин навиштан ва тасдиқи муодилаи хати регрессия, мо метавонем арзиши тағирёбандаи вобастаро аз тағирёбандаҳои мустақил дақиқ пешгӯӣ кунем.
Дарки хуби ин усул дар соҳаҳо ба монанди иқтисод, биостатистика, муҳандисӣ ва илмҳои иҷтимоӣ, ки дар онҳо таҳлили регрессия зуд-зуд истифода мешавад, бениҳоят муфид аст. Ин мақола бо мисолҳои мушаххас аҳамият ва муфидии ин методологияро дар таҳлили маълумот нишон медиҳад.
