Намунаҳои саволҳо ва муҳокимаи доираҳо ва аккордҳо
Доира яке аз шаклҳои асосии геометрӣ мебошад, ки аксар вақт дар математика омӯхта мешавад. Як мафҳуми муҳими марбут ба доираҳо хорда аст, ки хатест, ки ду нуқтаи доираро бе гузаштан аз марказ мепайвандад. Фаҳмидани доираҳо ва хордаҳо барои омӯзиши геометрия муҳим аст. Дар ин мақола якчанд масъалаҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои марбут ба доираҳо ва хордаҳо барои амиқтар фаҳмидани ин мафҳумҳо баррасӣ мешаванд.
Фаҳмиши асосӣ
Доира
Доира маҷмӯи ҳамаи нуқтаҳо дар ҳамворӣ аст, ки аз нуқтаи додашуда, ки марказ номида мешавад, баробар дуранд. Агар маркази доира нуқтаи O ва радиуси доира r бошад, он гоҳ доираро бо муодилаи (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² дар шакли декартӣ ифода кардан мумкин аст.
Тири камон
Хорда дар доира хатест, ки ду нуқтаи доираро мепайвандад. Дарозии хорда на танҳо аз радиуси доира, балки аз андозаи кунҷи марказии ба он нигаронидашуда низ вобаста аст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1:
Савол: Доирае бо радиуси 10 см ва хордаи AB бо дарозии 16 см дода шудааст. Масофаи кӯтоҳтаринро аз маркази доира то хорда муайян кунед.
Муҳокима:
Барои ёфтани масофа аз маркази давра то хорда, мо метавонем формулаи секунҷаи росткунҷаро истифода барем, ки байни радиус, масофа аз марказ то хорда ва нисфи дарозии хорда ташкил карда шудааст.
Фарз мекунем, ки нуқтаи O маркази доира ва нуқтаи P нуқтаест, ки дар мобайни хордаи AB ҷойгир аст ва ба AB амудӣ аст. Ҳамин тариқ, OP масофа аз маркази доираи O то хордаи AB аст.
Дар секунҷаи OAP (секунҷаи росткунҷа дар P), мо метавонем теоремаи Пифагорро татбиқ кунем:
OP² + AP² = OA²
Мо медонем, ки:
– OA (радиуси доира) = 10 см
– AB (дарозии ресмон) = 16 см, бинобар ин AP = 16/2 = 8 см.
Арзишҳои маълумро ба муодила иваз кунед:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Пас, масофаи кӯтоҳтарин аз маркази давра то хорда 6 см аст.
Саволи 2:
Савол: Доирае, ки маркази он O аст, радиуси 8 см дорад. Хордаи AB кунҷи марказии ∠AOB-и 120°-ро ташкил медиҳад. Дарозии хордаи AB-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Барои ҳисоб кардани дарозии хордае, ки кунҷи марказиро (θ) ташкил медиҳад, мо метавонем формулаи зеринро истифода барем:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Ди мана:
– r радиуси доира аст (дар ин савол 8 см)
– θ кунҷест, ки хорда дар маркази давра месозад (дар ин масъала 120°)
Арзишҳои маълумро иваз кунед:
AB = 2 × 8 см × гуноҳ (120°/2)
AB = 16 см × син(60°)
AB = 16 см × (√3 / 2)
AB = 8√3 см
Пас, дарозии хордаи AB 8√3 см аст.
Саволи 3:
Савол: Доирае, ки радиуси он 13 см аст ва хордаи AB аз маркази доира 5 см дур аст. Дарозии хордаи AB-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Дар ин ҳолат, мо метавонем аз секунҷаи росткунҷаи ташкилшуда барои ёфтани дарозии хорда истифода барем. Бигзор нуқтаи O маркази доира, нуқтаи P нуқтаи наздиктарин дар хорда ба марказ ва AB хорда бошад.
Мо медонем:
– OA (радиуси доира) = 13 см
– OP (масофаи марказӣ то ресмони камон) = 5 см.
Дар секунҷаи OAP:
OP² + AP² = OA²
Мо AP (нисфи дарозии аккорд)-ро меёбем:
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Пас, дарозии хорда AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 см.
Саволи 4:
Савол: Доирае бо радиуси 10 см дода шудааст. Хордаи AB 12 см дарозӣ дорад. Андозаи кунҷи марказиро ∠AOB муайян кунед.
Муҳокима:
Дар ин ҳолат, мо бояд аз функсияи баръакси тригонометрӣ барои муайян кардани кунҷи марказии ∠AOB истифода барем. Бар асоси формулаи дарозии хордае, ки кунҷи марказии θ-ро дар бар мегирад, мо метавонем формуларо барои ҳисоб кардани θ аз нав нависем:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Дар куҷо:
– r радиуси доира (10 см) аст
– AB дарозии ресмони камон (12 см) аст
Барои ҷудо кардани sin(θ/2) муодила тартиб диҳед:
12 = 2 × 10 × син(θ/2)
12 = 20 × син(θ/2)
син(θ/2) = 12/20
син(θ/2) = 0.6
Қимати θ/2-ро ёбед:
θ/2 = син^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Пас,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Пас, кунҷи марказии ∠AOB 73.74° аст.
Хулоса
Омӯзиши доираҳо ва аккордҳо фаҳмиши геометрияи асосӣ ва тригонометрияро талаб мекунад. Дар мисолҳои дар боло овардашуда, мо дидем, ки чӣ тавр формулаҳо ва теоремаҳои гуногун, ба монанди теоремаи Пифагор, функсияҳои тригонометрӣ ва хосиятҳои асосии доираҳо, барои ҳалли масъалаҳо истифода бурдан мумкин аст.
Умед аст, ки тавассути ин масъалаҳои амалӣ фаҳмиши амиқтари робитаи байни радиус, дарозии хорда ва кунҷи марказии ҳосилшуда ба даст оварда шавад. Дарки ин мафҳум на танҳо дар математикаи мактабӣ, балки дар татбиқи ҳаррӯза дар соҳаҳои гуногуни илм ва муҳандисӣ низ муфид аст.
