Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи коррелятсияи лаҳзаи маҳсулот
Коррелятсияи Маҳсулот-Лаҳза, ки бо номи Коррелятсияи Пирсон низ маълум аст, усули оморӣ мебошад, ки барои чен кардани қувват ва самти муносибати хаттӣ байни ду тағирёбанда истифода мешавад. Ин усул дар соҳаҳои гуногун, аз таҳқиқоти илмӣ ва таҳлили тиҷорат то арзёбии таҷрибаҳо дар илмҳои табиӣ, муфид аст. Дар ин мақола якчанд мисолҳои масъала ва роҳҳои ҳалли онҳо барои ҳисоб кардани Коррелятсияи Маҳсулот-Лаҳза баррасӣ карда мешаванд.
Пендахулуан
Пеш аз он ки мо ба саволҳои намунавӣ гузарем, хуб аст, ки мафҳуми асосии коррелятсияи лаҳзаи маҳсулотро фаҳмем. Формулаи умумӣ, ки барои ҳисоб кардани коэффитсиенти коррелятсияи Пирсон (\(r\)) истифода мешавад, чунин аст:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Дар куҷо:
– \( n \) шумораи ҷуфтҳои маълумот аст.
– \( \sum{XY} \) ҷамъи зарбҳои \( X \) ва \( Y \) аст.
– \( \sum{X} \) ҷамъи тағйирёбандаҳои \( X \) аст.
– \( \sum{Y} \) ҷамъи тағйирёбандаҳои \(Y \) аст.
– \( \sum{X^2} \) ҷамъи мураббаъҳои тағйирёбандаи \( X \) аст.
– \( \sum{Y^2} \) ҷамъи мураббаъҳои тағйирёбандаи \(Y \) аст.
Коэффитсиенти коррелятсияи Пирсон (\(r \)) ҳамеша дар байни -1 ва 1 аст. Коррелятсияи мусбат нишон медиҳад, ки ҳарду тағирёбанда дар як самт ҳаракат мекунанд, дар ҳоле ки коррелятсияи манфӣ нишон медиҳад, ки ҳангоми афзоиши як тағирёбанда, дигараш кам мешавад. Агар \(r = 0 \) бошад, пас байни ин ду тағирёбанда коррелятсияи хаттӣ вуҷуд надорад.
Намунаи саволи 1
Маълумот
Маълумоти холҳои имтиҳони математика ва физика барои 5 донишҷӯ дар зер оварда шудааст:
| Донишҷӯ | Риёзӣ (X) | Физика (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Қадамҳои ҳалли масъала
1. Ҳисоб кардани ҷузъҳои муҳим:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Ба формула ворид кунед:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Ҳисоб кардани натиҷаҳо:
– Суратгир: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Махраҷ:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \вақт 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \тақрибан 0.633 \]
Ҳамин тариқ, коэффитсиенти коррелятсияи Пирсон байни холҳои имтиҳони математика ва физика 0.633 аст, ки нишон медиҳад, ки байни ин ду тағирёбанда коррелятсияи мусбати мӯътадил вуҷуд дорад.
Намунаи саволи 2
Маълумот
Маълумот дар бораи арзиши фурӯш ва хароҷоти таблиғотӣ аз 6 моҳ дар як ширкат дар зер оварда шудааст:
| Моҳ | Реклама (X) | Фурӯш (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Қадамҳои ҳалли масъала
1. Ҳисоб кардани ҷузъҳои муҳим:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Ба формула ворид кунед:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Ҳисоб кардани натиҷаҳо:
– Суратгир: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Махраҷ:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \вақт 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \тақрибан 0.981 \]
Ҳамин тариқ, коэффитсиенти коррелятсияи Пирсон байни хароҷоти таблиғотӣ ва арзиши фурӯш 0.981 аст, ки нишон медиҳад, ки байни ин ду тағирёбанда коррелятсияи хеле мусбати қавӣ вуҷуд дорад.
Хулоса
Коэффитсиенти коррелятсияи Пирсон (\(r\)) як воситаи хеле муфид барои фаҳмидани муносибати хаттӣ байни ду тағирёбанда мебошад. Дар мисолҳои овардашуда, мо мебинем, ки чӣ тавр арзиши \(r\)-ро ҳисоб кардан ва онро тафсир кардан мумкин аст. Коррелятсияи баландтар (наздиктар ба 1 ё -1) нишонаи робитаи қавитар аст, дар ҳоле ки коррелятсияи пасттар (наздиктар ба 0) нишонаи робитаи заифтар аст. Қайд кардан муҳим аст, ки коррелятсия маънои сабабиятро надорад; он танҳо нишон медиҳад, ки байни ду тағирёбанда робита вуҷуд дорад.
