Намунаҳои саволҳо дар бораи мавқеи нуқта нисбат ба доира
Муайян кардани мавқеи нуқта нисбат ба доира мавзӯи муҳим дар геометрияи асосӣ, бахусус дар омӯзиши доираҳо мебошад. Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои масъалаҳоеро, ки мавқеи нуқта нисбат ба доираро дар бар мегиранд, дар баробари шарҳҳои онҳо баррасӣ хоҳем кард. Ин ба равшан кардани ин мафҳум тавассути татбиқи амалӣ мусоидат мекунад.
Пендахулуан
Пеш аз он ки ба саволҳои мисолӣ гузарем, биёед се мавқеи имконпазири нуқтаро дар доира ба ёд орем:
1. Дар дохили доира: Агар масофаи нуқта то маркази доира аз радиуси доира хурдтар бошад.
2. Берун аз доира: Агар масофаи нуқта то маркази доира аз радиуси доира калонтар бошад.
3. Дар доира: Агар масофа аз нуқта то маркази доира бо радиуси доира баробар бошад.
Аз нигоҳи математикӣ, мавқеи нуқтаи \(T(x_1, y_1)\) нисбат ба доирае, ки дар маркази \(a, b)\) бо радиус \(r\) қарор дорад, бо муқоисаи \(T(x_1, y_1)\) бо муодилаи доира, яъне: муайян карда мешавад.
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Агар натиҷаи иваз кардани \(x_1\) ва \(y_1\) дар муодила қиматро диҳад:
– Нуқта аз \(r^2\) хурдтар аст, дар дохили доира ҷойгир аст.
– Нуқта аз \(r^2\) калонтар бошад, берун аз доира ҷойгир аст.
– Мисли √(r^2), нуқта дар доира аст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Саволи 1
Мавқеи нуқтаи \(T(3, 4)\)-ро нисбат ба доира бо муодилаи \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \) муайян кунед.
Муҳокима:
Қадами аввал ин арзёбии муодилаи доира ва ёфтани масофа аз нуқтаи \(T(3, 4)\) то маркази доира \((1, 2)\) мебошад.
1. Марказ ва радиуси доираро муайян кунед:
Муодилаи доира: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Маркази доира (\(a, b\)): (1, 2)
– Радиуси доира (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Масофаи байни нуқтаи \(T(3, 4)\) ва маркази доира \( (1, 2)\)-ро ҳисоб кунед:
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Қимати \(2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) (камтар аз \(5\)).
3. Хулоса:
Азбаски \(2\sqrt{2} < 5\) аст, пас нуқтаи \(T(3, 4)\) дар дохили доира ҷойгир аст. Саволи 2. Доира марказашро дар нуқтаи \(0, 0)\) ва радиуси 7 дорад. Мавқеи нуқтаи \(P(5, 6)\)-ро нисбат ба доира муайян кунед. Баҳс: 1. Муодилаи доира: Муодилаи доирае, ки марказаш дар (0, 0) ва радиуси 7 аст, чунин аст: \[x^2 + y^2 = 49 \] 2. Ҳисоб кардани масофа аз нуқтаи \(P(5, 6) \) то маркази доира \( (0, 0): \[D = \sqrt{(5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \] Қимати \( \sqrt{61} \approx 7.81 \). 3. Хулоса: Азбаски \( \sqrt{61} > 7 \), пас нуқтаи \(P(5, 6) \) берун аз доира аст.
Саволи 3
Мавқеи нуқтаи \(M(2, -1)\)-ро нисбат ба доира бо истифода аз муодилаи \(x^2 + y^2 = 5\) муайян кунед.
Муҳокима:
1. Масофаро аз нуқтаи '(M(2, -1)') то маркази доира '(0, 0)' ҳисоб кунед:
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Масофаи \(D\)-ро бо радиуси доира муқоиса кунед:
Радиуси доира (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Хулоса:
Азбаски \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), пас нуқтаи \(M(2, -1) \) дар доира ҷойгир аст.
Саволи 4
Доирае, ки марказаш дар нуқтаи \(4, 3) \) ҷойгир аст, радиуси \(\sqrt{10} \) дорад. Мавқеи нуқтаи \(N(7, 7) \)-ро нисбат ба ин доира нишон диҳед.
Муҳокима:
1. Муодилаи доира:
Муодилаи доира бо марказ ((4, 3)) ва радиус ((\sqrt{10}) чунин аст:
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Масофаро аз нуқтаи \(N(7, 7) \) то маркази доира \((4, 3) \) ҳисоб кунед:
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Хулоса:
Азбаски \(5 > \sqrt{10} \), пас нуқтаи \(N(7, 7) \) берун аз доира ҷойгир аст.
Penutup
Бо фаҳмидани тарзи ҳисоб кардани масофаи нуқта аз маркази доира ва муқоисаи он бо радиус, мо метавонем ба осонӣ мавқеи нуқтаро нисбат ба доира муайян кунем. Муҳокима дар ин мақола барои фаҳмиши равшани мафҳум ва чӣ гуна ҳалли масъалаҳои марбут ба мавқеи нуқта нисбат ба доира пешбинӣ шудааст.
Дар амал, донистани мавқеи ин нуқтаҳо дар барномаҳои гуногуни математикӣ, аз ҷумла таҳлили геометрӣ, тарроҳии графикӣ ва муҳандисӣ, хеле муфид аст. Аз ин рӯ, аз худ кардани ин мафҳум як пояи муҳимест, ки сазовори таваҷҷӯҳи ҷиддӣ ва фаҳмиши амиқ аст.
