Намунаҳои саволҳо дар бораи қисматҳои конуси параболикӣ
Буриши конусӣ қисмате аз сатҳи конусӣ аст, ки бо ҳамворӣ бурида шудааст. Шаклҳои геометрии буришҳои конусӣ доираҳо, эллипсҳо, параболаҳо ва гиперболаҳо мебошанд. Дар ин мақола, мо ба параболаҳо, ки яке аз маъмултарин намудҳои буришҳои конусӣ мебошад, ки дар соҳаҳои гуногуни илм, бахусус математика ва физика, дучор мешавад, тамаркуз хоҳем кард. Параболаро метавон ҳамчун маҷмӯи нуқтаҳое муайян кард, ки аз нуқтаи муқарраршуда (фокус) ва хати муқарраршуда (директрис) баробар дуранд.
Таърифи Парабола
Барои фаҳмидани минбаъдаи мафҳуми парабола, фаҳмидани якчанд унсурҳои муҳими парабола зарур аст, ки инҳоянд:
1. Қулла (қулла): Нуқтаи гардиши парабола, ки дар он парабола каҷравиро тағйир медиҳад.
2. Фокус: Нуқтаи муқарраршуда дар ҳамворӣ, ки барои муайян кардани парабол истифода мешавад.
3. Директриса: Хатти собит дар ҳамворӣ, ки барои муайян кардани парабол истифода мешавад.
4. Меҳвари симметрӣ: Хатте, ки аз фокус ва қулла мегузарад ва параболаро ба ду қисмати симметрӣ тақсим мекунад.
Муодилаи умумии параболаро, ки қуллааш дар ибтидои (0,0) ҷойгир аст, бо ду шакл навиштан мумкин аст:
– Параболаи уфуқӣ: \( y^2 = 4ax \)
– Параболаи амудӣ: \( x^2 = 4ay \)
ки дар он \(a\) масофа аз қулла то фокус аст.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокимаҳо
Дар зер якчанд саволҳои намунавӣ ва муҳокимаҳои онҳо вобаста ба параболаҳо оварда шудаанд.
Намунаи саволи 1
Савол:
Муодилаи параболаро муайян кунед, ки қуллааш дар ибтидо (0,0) ва фокусаш дар нуқтаи (3,0) аст.
Муҳокима:
Аз савол мо мебинем, ки фокуси парабола дар нуқтаи (3,0) қарор дорад. Азбаски фокус дар меҳвари x-и мусбат ҷойгир аст, мо медонем, ки парабола бояд уфуқӣ бошад.
Барои параболаи уфуқӣ, мо муодилаи умумии \(y^2 = 4ax \)-ро истифода мебарем.
Азбаски фокус дар (3,0) қарор дорад, пас \(a = 3\).
Пас, муодилаи парабола чунин аст:
\[ y^2 = 4 \cdot 3 \cdot x \]
\[ y^2 = 12x \]
Намунаи саволи 2
Савол:
Муодилаи параболаро муайян кунед, ки қуллааш дар ибтидо (0,0) ва директрисаи x = -4 дорад.
Муҳокима:
Директрисаи парабола хати собитест, ки аз қулла дуртарин, муқобили фокус ҷойгир аст. Пас, агар директриса x = -4 бошад, фокус дар нуқтаи (4,0) ҷойгир аст.
Боз ҳам, ин нишон медиҳад, ки парабола уфуқӣ аст.
Масофа аз қулла то фокус, \(a = 4\).
Муодилаи парабола чунин аст:
\[ y^2 = 4 \cdot 4 \cdot x \]
\[ y^2 = 16x \]
Намунаи саволи 3
Савол:
Парабола бо муодилаи \(x^2 = 8y \) дода шудааст. Координатаҳои қулла, фокус ва муодилаи директрисаро муайян кунед.
Муҳокима:
Аз муодилаи \(x^2 = 8y\), дидан мумкин аст, ки ин параболаи амудӣ аст.
Барои параболаи шакли \(x^2 = 4ay \), мо метавонем муқоиса кунем:
\[ 4a = 8 \]
\[ а = 2 \]
Ин нишон медиҳад, ки масофа аз нуқтаи асосӣ то фокус 2 аст.
– Координатаҳои қулла: Азбаски тағйирот вуҷуд надорад, қулла дар ибтидо (0, 0) боқӣ мемонад.
– Фокус: Фокус дар меҳвари y-и мусбат дар масофаи a аз қулла, яъне (0, 2), ҷойгир аст.
– Директриса: Директриса хати y = -a аст, бинобар ин директриса y = -2 аст.
Намунаи саволи 4
Савол:
Муодилаи параболаро муайян кунед, ки фокусаш дар нуқтаи (0, -2) ва қуллааш дар нуқтаи (0, 0) аст.
Муҳокима:
Ин масъала нишон медиҳад, ки парабола амудӣ ва камшаванда аст (зеро фокус дар зери қулла ҷойгир аст).
Барои параболаи амудӣ, ки ба поён нигаронида шудааст, шакли умумӣ чунин аст: \(x^2 = -4ay \).
Масофа аз қулла то фокус, \( a = 2 \).
Пас, муодилаи парабола чунин аст:
\[x^2 = -4 \cdot 2 \cdot y \]
\[ x^2 = -8y \]
Намунаи саволи 5
Савол:
Парабола дорои муодилаи \(y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \) мебошад. Координатаҳои қулла, фокус ва самти самти онро муайян кунед.
Муҳокима:
Қадами 1: Шакли муодилаи параболаро ба шакли стандартӣ иваз кунед.
Бо аз нав навиштани муодила оғоз кунед:
\[y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \]
\[y^2 + 4y = 4x – 20 \]
Қадами 2: Мураббаъи комилро барои қисми \(y\) пур кунед:
\[y^2 + 4y + 4 = 4x – 20 + 4 \]
\[ (y + 2)^2 = 4x – 16 \]
\[ (y + 2)^2 = 4(x – 4) \]
Қадами 3: Бо шакли умумии \( (y – k)^2 = 4a(x – h) \). муқоиса кунед. Дар ин ҳолат, \(a = 1\), \(k = -2\) ва \(h = 4\).
– Координатаҳои қулла: (4, -2)
– Фокус: Азбаски \(a = 1\), масофаи он аз қулла 1 воҳид аст. Фокус (4+1, -2) = (5, -2) аст.
– Директриса: Хатти амудӣ аз √(x = h – a = 4 – 1 = 3) мегузарад. Пас, директриса √(x = 3) аст.
Бо дарки намудҳои гуногуни масъалаҳо ва усулҳои ҳалли онҳо, фаҳмиши шумо дар бораи параболаҳо беҳтар хоҳад шуд. Масъалаҳоро бо шаклҳо ва конфигуратсияҳои гуногун барои тақвияти ин мафҳум машқ кунед. Параболаҳо на танҳо як мафҳуми математикӣ мебошанд, балки дар физика ва муҳандисӣ низ татбиқҳои зиёде доранд, аз ҷумла траекторияҳои снаряд ва инъикоскунандаи параболӣ дар системаҳои коммуникатсионӣ. Ҳар қадар бештар машқ кунед, ҳамон қадар ин мавзӯъро бештар аз худ мекунед.
