Намунаи саволи баҳсӣ дар бораи тақсимоти муқаррарӣ
Тақсимоти муқаррарӣ, ки бо номи тақсимоти Гаусс низ маълум аст, тақсимоти эҳтимолияти маъмултарин дар омор аст. Ин тақсимот шакли зангӯлаи симметрӣ дорад, ки нишон медиҳад, ки маълумот дар атрофи миёна ҷойгир шудаанд ва эҳтимолияти экстремумҳо (арзишҳое, ки аз миёна дуранд) паст аст.
Дар ин мақола, мо масъалаҳои гуногуни намунавиро, ки бо тақсимоти муқаррарӣ алоқаманданд ва чӣ гуна ҳалли онҳоро баррасӣ хоҳем кард. Мо бо муаррифии баъзе мафҳумҳои асосӣ оғоз мекунем ва сипас ба мисолҳои мураккабтар мегузарем.
Асосҳои тақсимоти муқаррарӣ
Тақсимоти муқаррарӣ тақсимоти пайваста бо ду параметр аст: миёна ва инҳирофи стандартӣ (SD). Миёна маркази тақсимотро муайян мекунад, дар ҳоле ки инҳирофи стандартӣ паҳнои тақсимотро муайян мекунад.
Хусусиятҳои муҳими тақсимоти муқаррарӣ:
1. Симметрия: Тақсимоти муқаррарӣ нисбат ба миёна симметрӣ аст.
2. Қоидаи эмпирикӣ (Қоидаи эмпирикӣ):
– Тақрибан 68% маълумот дар ҳудуди як инҳирофи стандартӣ аз миёна ҷойгир аст.
– Тақрибан 95% маълумот дар ҳудуди ду инҳирофи стандартӣ аз миёна ҷойгир аст.
– Тақрибан 99.7% маълумот дар ҳудуди се инҳирофи стандартӣ аз миёна ҷойгиранд.
Намунаҳои саволҳо ва муҳокима
Намунаи саволи 1: Ҳисоб кардани холҳои Z
Савол: Имтиҳон ба ҳисоби миёна 70 хол ва инҳирофи стандартӣ 10 дорад. Донишҷӯ 80 хол мегирад. Z-холи донишҷӯ чанд аст?
Ҳалли масъала:
Нишондиҳандаи Z ченаки он аст, ки нишон медиҳад, ки як арзиш аз миёна чанд инҳирофи стандартӣ дорад.
Формулаи Z-хол:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Дар куҷо:
– \( X \) арзиши мушоҳидашуда аст.
– \( \mu \) миёна аст.
– \( \sigma \) инҳирофи стандартӣ аст.
Рӯшан аст:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Татбиқи формула:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Пас, холҳои Z-и донишҷӯ 1 аст, ки маънои онро дорад, ки холҳои 80 як инҳирофи стандартӣ аз миёна болотар аст.
Намунаи саволи 2: Эҳтимолияти арзиши муайян
Савол: Дар тақсимоти муқаррарӣ бо миёнаи 100 ва инҳирофи стандартии 15, эҳтимолияти ёфтани қимате, ки аз 85 поёнтар аст, чанд аст?
Ҳалли масъала:
Қадамҳо:
1. Холи Z-ро барои арзиши \(X = 85 \) ҳисоб кунед:
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Барои ёфтани эҳтимолияти мувофиқ ба холҳои Z-и -1 аз ҷадвали Z ё ҳисобкунаки оморӣ истифода баред. Дар ҷадвали Z, эҳтимолияти холҳои Z-и -1 тақрибан 0.1587 аст.
Пас, эҳтимолияти ёфтани арзише, ки аз 85 поёнтар аст, 0.1587 ё 15.87% аст.
Намунаи саволи 3: Истифодаи қоидаҳои эмпирикӣ
Савол: Маълум аст, ки тақсимоти холҳои имтиҳони математика дар мактабҳо аз рӯи тақсимоти муқаррарӣ бо миёнаи 75 ва инҳирофи стандартии 8 сурат мегирад. Кадом фоизи хонандагон аз 67 то 83 хол гирифтанд?
Ҳалли масъала:
Лангка-лангка:
1. Барои арзишҳои 67 ва 83 холҳои Z-ро ҳисоб кунед:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Мувофиқи қоидаҳои эмпирикӣ, арзишҳо байни -1 SD ва +1 SD аз ҳисоби миёна тақрибан 68% аҳолиро фаро мегиранд.
Пас, ҳиссаи донишҷӯёне, ки аз 67 то 83 хол гирифтанд, тақрибан 68% -ро ташкил дод.
Намунаи саволи 4: Ҳисоб кардани арзишҳо аз рӯи фоизҳо
Савол: Агар қади миёнаи мардони болиғ дар як кишвар 175 см бо инҳирофи стандартӣ 7 см бошад, пас қад дар 90-ум персентил чӣ қадар аст?
Ҳалли масъала:
Лангка-лангка:
1. Холи Z-ро, ки ба 90-ум персентил мувофиқат мекунад, ёбед. Бар асоси ҷадвали Z, холҳои Z, ки ба 0.9000 наздиктарин аст, тақрибан 1.28 аст.
2. Барои ҳисоб кардани арзиши \( X \) аз формула истифода баред:
\[X = \mu + Z \times \sigma \]
\[X = 175 + 1.28 \зарбаи 7 \]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Пас, қад дар персентилҳои 90-ум тақрибан 183.96 см аст.
Намунаи саволи 5: Эҳтимолияти фосилаи муайян
Савол: Бо назардошти он, ки тақсимоти вазни навзод аз рӯи тақсимоти муқаррарӣ бо миёнаи 3.5 кг ва инҳирофи стандартии 0.5 кг сурат мегирад, эҳтимолияти вазни кӯдак аз 3 то 4 кг чанд аст?
Ҳалли масъала:
Лангка-лангка:
1. Барои арзишҳои 3 кг ва 4 кг холҳои Z-ро ҳисоб кунед:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Эҳтимолияти холҳои Z байни -1 ва 1, ки бар асоси ҷадвали Z муайян шудаанд, тақрибан 0.6826 ё 68.26% -ро ташкил медиҳад.
Пас, эҳтимолияти таваллуди кӯдаки аз 3 то 4 кг тақрибан 68.26% -ро ташкил медиҳад.
Хулоса
Тақсимоти муқаррарӣ як мафҳуми бунёдӣ дар омор аст, ки муҳим аст ва дар ҷаҳони воқеӣ татбиқҳои зиёде дорад. Дар ин мақола, мо мафҳумҳои асосии тақсимоти муқаррариро шарҳ додем ва якчанд мисолҳоро ҳал кардем, то фаҳмиши худро амиқтар кунем.
Дарки тақсимоти муқаррарӣ на танҳо барои омор, балки барои соҳаҳои гуногуни амалӣ, аз қабили психология, иқтисод ва дигар илмҳои иҷтимоӣ низ муҳим аст. Бо таҷрибаи кофӣ, ҳалли масъалаҳои тақсимоти муқаррарӣ метавонад бештар фаҳмотар гардад ва ба қабули қарорҳои бар асоси маълумот асосёфта мусоидат намояд.
