Намунаҳои саволҳо дар бораи силсилаҳо ва силсилаҳо
Силсила ва силсила мафҳумҳои асосии математика мебошанд, ки аз мактаби ибтидоӣ то коллеҷ зуд-зуд дучор мешаванд. Силсила маҷмӯи ададҳоест, ки мувофиқи қоидаи мушаххас тартиб дода шудаанд, дар ҳоле ки силсила ҷамъи аъзои ин силсила мебошад. Дар ин мақола, мо якчанд масъалаҳои намунавиро баррасӣ хоҳем кард ва силсила ва силсилаҳоро баррасӣ хоҳем кард.
Мисоли 1: Силсилаи арифметикӣ
Савол:
Як пайдарпайии арифметикӣ дода шудааст, ки ҷузъи аввал (a) = 3 ва фарқи (d) = 5 дорад. Муайян кунед:
1. Ҷудокунии панҷуми силсила.
2. Ҷамъи 20 узви аввали силсила.
Муҳокима:
1. Семестри 10-ум
Формула барои узви n-уми силсилаи арифметикӣ чунин аст:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Барои давраи 10-ум (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Ҷамъи 20 узви аввал
Формула барои ҷамъи n-ҳайати аввали силсилаи арифметикӣ чунин аст:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Барои ҷамъи 20 истилоҳи аввал (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Мисоли 2: Силсилаи геометрӣ
Савол:
Пайдарпайии геометрӣ бо ҷузъи аввал (a) = 4 ва таносуби (r) = 2 дода шудааст. Муайян кунед:
1. Ҷудокунии панҷуми силсила.
2. Ҷамъи 8 узви аввали силсила.
Муҳокима:
1. Семестри 6-ум
Формула барои узви n-уми силсилаи геометрӣ чунин аст:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Барои давраи 6-ум (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Ҷамъи 8 узви аввал
Формула барои ҷамъи n-ҳайати аввали силсилаи геометрӣ чунин аст:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Барои ҷамъи 8 истилоҳи аввал (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Мисоли 3: Силсилаи беохири геометрии конвергентӣ
Савол:
Силсилаи геометрие дода шудааст, ки узви аввал (a) = 1 ва таносуби (r) = 1/2 дорад. Ҷамъи силсилаи беохирро муайян кунед.
Муҳокима:
Формула барои ҷамъи силсилаи беохир (S_∞)-и силсилаи геометрии ҳамгирошаванда чунин аст:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Пас, барои ин силсила:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Мисоли 4: Силсилаҳо ва силсилаи ададҳои квадратӣ
Савол:
Пайдарпайии ададҳои квадратӣ бо банди аввал (U_1) = 1, банди дуюм (U_2) = 4 ва банди сеюм (U_3) = 9 дода шудааст. банди 5-уми пайдарпайиро муайян кунед. Оё ин пайдарпайӣ пайдарпайии арифметикӣ ё геометрӣ аст? Шарҳ диҳед.
Муҳокима:
1. Семестри 5-ум
Намунаи силсилаи ададҳои квадратӣ чунин аст:
\[
U_n = n^2
\]
Барои давраи 5-ум (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Навъи хат
Барои санҷидани он, ки ин пайдарпайӣ арифметикӣ ё геометрӣ аст, фарқи байни аъзоён (фарқи умумӣ) ва таносуби байни аъзоёнро санҷед:
– Тафовут байни истилоҳот (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Азбаски фарқият доимӣ нест, ин пайдарпайӣ арифметикӣ нест.
– Таносуби байниқабила (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Азбаски таносуби байни истилоҳҳо доимӣ нест, ин пайдарпайӣ геометрӣ нест.
Пас, ин силсилаи ададҳои квадратӣ на силсилаи арифметикӣ ва на геометрӣ, балки силсилаи махсусест, ки аз рӯи тартиби ададҳои квадратӣ амал мекунад.
Мисоли 5: Силсилаи арифметикии беохир
Савол:
Оё ҷамъи силсилаи арифметикии беохирро ҳисоб кардан мумкин аст? Агар ҳа, мисол биёред. Агар не, сабабашро шарҳ диҳед.
Муҳокима:
Бар хилофи силсилаҳои геометрӣ, силсилаҳои арифметикии беохир одатан ҷамъи ниҳоӣ надоранд. Ин аз он сабаб аст, ки ҳар як аъзо ба таври хаттӣ зиёд ё кам мешавад, аз ин рӯ ҷамъ ба таври номуайян афзоиш меёбад.
Масалан, силсилаи арифметикии беохирро бо ҷузъи аввал 1 ва фарқи умумӣ 1 баррасӣ кунед:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Агар мо кӯшиш кунем, ки онҳоро ҷамъ кунем, маълум мешавад, ки силсила ба арзиши муқарраршуда наздик намешавад, балки ба беохирӣ наздик мешавад. Аз ин рӯ, ҷамъи силсилаи арифметикии беохир, умуман, беохир аст ва онро мисли силсилаи геометрии ҷамъшаванда ҳисоб кардан мумкин нест.
-
Дар ин мақола, мо якчанд масъалаҳои намунавиро баррасӣ кардем ва пайдарпайиҳо ва силсилаҳоро муҳокима кардем. Мо пайдарпайиҳои арифметикӣ ва геометриро баррасӣ кардем, дидем, ки чӣ тавр узви n-ум ва ҷамъи аъзои аввали онҳоро ҳисоб кардан мумкин аст ва ба саволҳо дар бораи силсилаҳои беохир ҷавоб додем. Бо фаҳмидани ин мафҳумҳо ва мисолҳои асосӣ, умедворем, ки шумо ҳангоми муроҷиат ба пайдарпайиҳо ва силсилаҳо дар математика эътимоди бештар хоҳед дошт.
