బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు బెర్నౌలీ సమీకరణం

బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు బెర్నౌలీ సమీకరణం గురించిన వ్యాసం

మనం మోటార్‌బైక్ నడిపేటప్పుడు, మనం వేసుకున్న బట్టలు వెనక్కి ఉబ్బుతాయి. కొన్నిసార్లు, గాలి బలంగా వీస్తే, తలుపు దానంతట అదే మూసుకుపోతుంది. గాలి ఇంటి బయట వీస్తున్నప్పటికీ, తలుపు ఇంటి లోపలే ఉంటుంది.

దీనిని బెర్నౌలీ సూత్రం ఉపయోగించి వివరించవచ్చు. డేనియల్ బెర్నౌలీ (1700-1782) పై దృగ్విషయాన్ని వివరించడానికి ఉపయోగపడే ఒక సూత్రాన్ని కనుగొన్నాడు.

బెర్నౌలీ సూత్రం

బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం, ద్రవ ప్రవాహ వేగం ఎక్కువగా ఉన్నచోట, ద్రవ పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ద్రవ ప్రవాహ వేగం తక్కువగా ఉంటే, ద్రవ పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఒక మోటార్‌సైకిల్ వేగంగా కదులుతున్నప్పుడు, మీ శరీరం ముందు మరియు పక్క భాగాలలో గాలి వేగం ఎక్కువగా ఉంటుంది. అందువల్ల, గాలి పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. మీ శరీరం ముందు భాగం వల్ల మీ శరీరం వెనుక భాగం అడ్డుగా ఉంటుంది, కాబట్టి మీ శరీరం వెనుక భాగంలో గాలి వేగం ఎక్కువగా ఉండదు. ఫలితంగా, మీ శరీరం వెనుక భాగంలో గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. గాలి పీడనంలో వ్యత్యాసం ఉన్నందున, శరీరం వెనుక భాగంలో గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉండటం వల్ల గాలి మీ చొక్కాను వెనక్కి నెడుతుంది, దీనివల్ల మీ బట్టలు వెనక్కి ఉబ్బినట్లుగా కనిపిస్తాయి.

ఇంటి బయట గాలి వీచినప్పుడు దానంతట అదే మూసుకుపోయే ఇంటి తలుపు సంగతి ఏమిటి? ఇంటి లోపల గాలి కంటే బయట గాలి వేగంగా కదులుతుంది. ఫలితంగా, ఇంటి లోపల గాలి పీడనం కంటే బయట గాలి పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. ఈ పీడన వ్యత్యాసం కారణంగా, ఇంటి లోపల గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉన్న చోట, తలుపు బయటకు నెట్టబడుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తలుపు రెక్క గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉన్న ప్రదేశం నుండి గాలి పీడనం తక్కువగా ఉన్న ప్రదేశం వైపుకు కదులుతుంది.

బెర్నౌలీ సమీకరణం

ఇంతకుముందు, మనం బెర్నౌలీ సూత్రం గురించి తెలుసుకున్నాము. బెర్నౌలీ ఈ సూత్రాన్ని పరిమాణాత్మకంగా కూడా అభివృద్ధి చేశాడు. బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని రాబట్టడానికి, ద్రవ ప్రవాహం స్థిరంగా మరియు లామినార్‌గా, సంపీడనం చెందకుండా ఉంటుందని, మరియు స్నిగ్ధత చాలా తక్కువగా ఉండి దానిని విస్మరించవచ్చని మనం భావిస్తాము.

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం యొక్క చర్చలో, ప్రవాహ నాళం యొక్క ప్రవాహ వైశాల్యంపై ఆధారపడి ద్రవ ప్రవాహ రేటు కూడా మారవచ్చని మనం తెలుసుకున్నాము. పైన వివరించిన బెర్నౌలీ సూత్రం ఆధారంగా, ద్రవ ప్రవాహ రేటుపై ఆధారపడి ద్రవ పీడనం కూడా మారవచ్చు. ద్రవ పీడనం ద్రవం యొక్క ఎత్తుపై ఆధారపడి కూడా మారవచ్చు. పీడనం, ప్రవాహ రేటు మరియు ప్రవాహ ఎత్తు మధ్య సంబంధాన్ని బెర్నౌలీ సమీకరణంలో పొందవచ్చు.

బెర్నౌలీ సమీకరణం చాలా కీలకమైనది, ఎందుకంటే దీనిని విమాన ప్రయాణాలు, జలవిద్యుత్ కేంద్రాలు, పైపింగ్ వ్యవస్థలు మొదలైన వాటిని విశ్లేషించడానికి ఉపయోగించవచ్చు. సాధారణంగా బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని రాబట్టడానికి, ఒకే విధంగా లేని అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు వేర్వేరు ఎత్తులు కలిగిన ఒక ప్రవాహ నాళం గుండా ద్రవం ప్రవహిస్తుందని మనం భావిస్తాము. బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని రాబట్టడానికి, మనం ప్రవాహ నాళంలోని ద్రవానికి పని మరియు శక్తి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

క్రింది చిత్రంలోని ప్రవాహ నాళికలో ఉన్న అపారదర్శక రంగు ద్రవ ప్రవాహాన్ని సూచిస్తుండగా, తెలుపు రంగు ద్రవం లేకపోవడాన్ని సూచిస్తుంది.

అడ్డుకోత వైశాల్యం 1 (ఎడమ వైపు) లోని ద్రవం L _{1 దూరం వరకు ప్రవహించి, విభాగం 2 (కుడి వైపు) లోని ద్రవాన్ని L 2} దూరం వరకు కదలమని నెడుతుంది . కుడి వైపున ఉన్న అడ్డుకోత వైశాల్యం 2 చిన్నదిగా ఉన్నందున, ప్రవాహ నాళం యొక్క కుడి వైపున ద్రవ ప్రవాహ వేగం ఎక్కువగా ఉంటుంది (అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి). ఇది విభాగం 2 (ప్రవాహ నాళం యొక్క కుడి వైపు) మరియు విభాగం 1 (ప్రవాహ నాళం యొక్క ఎడమ వైపు) మధ్య పీడన వ్యత్యాసానికి కారణమవుతుంది – బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి. విభాగం 1 కు ఎడమ వైపున ఉన్న ద్రవం, కుడి వైపున ఉన్న ద్రవంపై పీడనం (P _{1 ) ను కలుగజేసి పని చేస్తుంది:}

అప్పుడు W1 _{సమీకరణాన్ని} ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

W ₁ = p ₁ A ₁ L ₁

సెక్షన్ 2లో (ప్రవాహ నాళం యొక్క కుడి వైపు), ద్రవంపై జరిగిన పని:

W ₂ = − p ₂ A ₂ L ₂

రుణాత్మక గుర్తు, ప్రయోగించిన బలం చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉందని సూచిస్తుంది. కాబట్టి, ద్రవం క్రాస్-సెక్షన్ 2 కు కుడి వైపున పని చేస్తుంది. అంతేకాకుండా, గురుత్వాకర్షణ బలం ద్రవంపై పని చేస్తుంది. పై సందర్భంలో, కొంత ద్రవ ద్రవ్యరాశులు సెక్షన్ 1 నుండి L _{1 వరకు} సెక్షన్ 2 కు L 2 వరకు _{బదిలీ చేయబడ్డాయి} , ఇక్కడ సెక్షన్ 1 లోని ద్రవ ఘనపరిమాణం (A ₁ L ₁ ) = సెక్షన్ 2 లోని ద్రవ ఘనపరిమాణం (A ₂ L ₂ ). గురుత్వాకర్షణ చేసిన పని:

W ₃ = − mg (h ₂ − h ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mgh ₁ − mgh ₂

గురుత్వాకర్షణ దిశకు వ్యతిరేకంగా ద్రవం పైకి ప్రవహించడం వల్ల రుణాత్మక గుర్తు ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల, ద్రవంపై జరిగిన నికర పని:

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

W = P₁ A₁ L₁ - పి₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక వ్యవస్థపై జరిగిన నికర పని దాని గతి శక్తిలోని మార్పుకు సమానం. అందువల్ల, మనం పని (W) స్థానంలో గతి శక్తిలోని మార్పులను (EK ₂ – EK ₁ ) ప్రతిక్షేపించవచ్చు.

పై సమీకరణాన్ని మళ్ళీ ఇలా వ్రాయవచ్చు:

W = P₁ A₁ L₁ - పి₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ ఇకె₁ = P₁ A₁ L₁ - పి₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mv₂² – 1⁄2 mv₁² = P₁ A₁ L₁ - పి₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

L వరకు ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి₁ క్రాస్-సెక్షన్ Aలో₁ L దూరం వరకు ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి₂ (క్రాస్-సెక్షన్ A)₂ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశి, m అనుకుందాం, దాని ఘనపరిమాణం A₁ L₁ మరియు ఒక₂ L₂ ఎక్కడ A₁ L₁ = ఎ₂ L₂ (L₂ L కంటే పొడవుగా ఉంది₁).

ఇప్పుడు పై సమీకరణంలో m ను m = ρ AL తో ప్రతిక్షేపిద్దాం:

ఇది బెర్నౌలీ సమీకరణం. బెర్నౌలీ సమీకరణం పని-శక్తి సూత్రం ఆధారంగా ఉద్భవించింది, అందువల్ల ఇది శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క ఒక రూపం.

P = పీడనం, ρ = సాంద్రత, v = ద్రవ వేగం, g = గురుత్వాకర్షణ త్వరణం, h = భూమికి పైన పైపు యొక్క ఎత్తు.

పైన ఉన్న బెర్నౌలీ సమీకరణంలోని ఎడమ మరియు కుడి భాగాలు ప్రవాహ నాళం వెంబడి ఎక్కడైనా రెండు బిందువులను సూచించగలవు, తద్వారా మనం పై సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఇప్పుడు కొన్ని సందర్భాలలో బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని సమీక్షిద్దాం.

స్థిర ద్రవాలలో బెర్నౌలీ సమీకరణం

బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం స్థిర ద్రవానికి సంబంధించినది, ఇక్కడ ద్రవానికి వేగం ఉండదు. అందువల్ల, v ₁ = v ₂ = 0. స్థిర ద్రవం విషయంలో, మనం బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా రూపొందించవచ్చు:

_{h 2} – h _{1 = h} అయితే , ఈ సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

p ₁ − p ₂ = ρ gh

ఒకే ఎత్తు ఉన్న పైపుపై బెర్నౌలీ సమీకరణం

పైపు ఎత్తు సమానంగా ఉంటే, బెర్నౌలీ సమీకరణం ఇలా మారుతుంది: