బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క అనువర్తనాలు

బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క అనువర్తనాల గురించిన వ్యాసం

టోరిసెల్లి సిద్ధాంతం

బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క ఉపయోగాలలో ఒకటి, ఒక పాత్ర అడుగుభాగం నుండి ద్రవం బయటకు వచ్చే వేగాన్ని లెక్కించడం (పటం చూడండి).

మనం బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని బిందువు 1 (పాత్ర ఉపరితలం) మరియు బిందువు 2 (రంధ్రం ఉపరితలం) వద్ద వర్తింపజేస్తాము. పాత్ర అడుగుభాగంలోని రంధ్రం యొక్క వ్యాసం, పాత్ర వ్యాసం కంటే చాలా చిన్నదిగా ఉన్నందున, పాత్ర ఉపరితలంపై ద్రవం యొక్క వేగాన్ని సున్నాగా పరిగణిస్తాము (v ₁ = 0). పాత్ర ఉపరితలం మరియు రంధ్రం ఉపరితలం తెరిచి ఉండటం వలన పీడనం వాతావరణ పీడనానికి సమానంగా ఉంటుంది (P ₁ = P ₂ ). అందువల్ల, ఈ సందర్భంలో బెర్నౌలీ సమీకరణం:

పాత్ర అడుగున ఉన్న రంధ్రంలో ద్రవ ప్రవాహ వేగాన్ని మనం లెక్కించాలనుకుంటే, అప్పుడు ఈ సమీకరణం ఇలా మారుతుంది:

ద్రవ సాంద్రత ఒకే విధంగా ఉంటుంది కాబట్టి ρ తొలగించబడుతుంది.

ఈ సమీకరణం ఆధారంగా, పాత్ర ఉపరితలం నుండి ఉన్న రంధ్రంలో నీటి ప్రవాహ వేగం సమానంగా ఉంటుంది

h దూరం వరకు స్వేచ్ఛగా కిందకు పడే నీటి ప్రవాహ వేగాన్ని (స్వేచ్ఛా పతన చలనంతో పోల్చండి) టోరిసెల్లి సిద్ధాంతం అంటారు. ఈ సిద్ధాంతాన్ని గెలీలియో శిష్యుడైన టోరిసెల్లి, బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ఒక శతాబ్దం ముందే కనుగొన్నాడు.

వెంచురి ప్రభావం

టోరిసెల్లి సిద్ధాంతంతో పాటు, బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఇతర ప్రత్యేక సందర్భాలలో కూడా వర్తింపజేయవచ్చు, అంటే ద్రవం దాదాపు ఒకే ఎత్తు ఉన్న పైపు భాగంలో ప్రవహించినప్పుడు. ఈ వివరణను అర్థం చేసుకోవడానికి, క్రింది చిత్రాన్ని గమనించండి.

పై చిత్రంలో, పైపు యొక్క ఎత్తు, పెద్ద క్రాస్-సెక్షన్ వైశాల్యం ఉన్న పైపు భాగం మరియు

పైపులో చిన్న అడ్డుకోత వైశాల్యం ఉన్న భాగం దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది, తద్వారా ఎత్తు సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో వర్తింపజేస్తే, బెర్నౌలీ సమీకరణం ఇలా మారుతుంది:

పైపులోని ఒక చిన్న భాగం (A ₂ ) గుండా ద్రవం ప్రవహించినప్పుడు, ద్రవ ప్రవాహ వేగం పెరుగుతుంది. బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం, ద్రవ వేగం పెరిగితే, ద్రవ పీడనం తగ్గుతుంది. పైపులోని ఇరుకైన భాగంలో ద్రవ పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది, కానీ ద్రవ ప్రవాహ వేగం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

దీనిని వెంచురి ప్రభావం అని అంటారు మరియు ఇది ద్రవ ప్రవాహ రేటు ఎక్కువగా ఉంటే, ద్రవ పీడనం తక్కువగా ఉంటుందని పరిమాణాత్మకంగా చూపిస్తుంది. అదేవిధంగా, ద్రవ ప్రవాహ రేటు తక్కువగా ఉంటే, ద్రవ పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

వెంచురి మీటర్

వెంటూరి ప్రభావం యొక్క ఒక ఆసక్తికరమైన అనువర్తనం వెంటూరి మీటర్. ఈ పరికరాన్ని ఒక ద్రవం యొక్క ప్రవాహ రేటును కొలవడానికి ఉపయోగిస్తారు, ఉదాహరణకు, ఒక పైపు గుండా ప్రవహించే నీరు లేదా నూనె యొక్క ప్రవాహ రేటును లెక్కించడం. వెంటూరి మీటర్లలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి, అవి మానోమీటర్లు లేని వెంటూరి మీటర్లు మరియు పాదరసం వంటి ఇతర ద్రవాలను కలిగి ఉన్న మానోమీటర్‌ను ఉపయోగించే వెంటూరి మీటర్లు. వాటి పని సూత్రం ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

మానోమీటర్ లేని వెంచురి మీటర్

పైపులో ద్రవ ప్రవాహ రేటును కొలవడానికి ఉపయోగించే వెంచురీ మీటర్‌ను కింది పటం చూపిస్తుంది.

పైపులోని ఒక చిన్న భాగం (A ₂ ) గుండా ద్రవం ప్రవహించినప్పుడు, ద్రవ ప్రవాహ వేగం పెరుగుతుంది. బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం, ద్రవ ప్రవాహ వేగం పెరిగితే, ద్రవం యొక్క పీడనం తగ్గుతుంది. అందువల్ల, ఒక పెద్ద భాగంలోని ద్రవ పీడనం ఒక చిన్న భాగంలోని ద్రవ పీడనం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (P ₁ > P ₂ ). బదులుగా, v ₂ > v ₁

P ₁ > P ₂ మరియు v ₂ > v _{1 అయినందున} ఈ సమీకరణాన్ని ఇలా మార్చవచ్చు:

సమీకరణం 1.

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం:

సమీకరణం 2.

_{పెద్ద క్రాస్-సెక్షన్‌లో ద్రవం యొక్క ప్రవాహ రేటు (v 1} ) కనుగొనబడుతోంది . మనం సమీకరణం 1 లోని v _{2 ను సమీకరణం 2 లోని v 2} తో ప్రతిక్షేపిస్తాము.

సమీకరణం 3.

ఒక నిర్దిష్ట లోతులో ద్రవ పీడనాన్ని లెక్కించడానికి, ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి:

p = ρ gh → సమీకరణం a

ద్రవ సాంద్రతలో వ్యత్యాసం చాలా తక్కువగా ఉంటే, వివిధ ఎత్తులలో పీడనంలో వ్యత్యాసాన్ని నిర్ధారించడానికి ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి. అందువల్ల, సమీకరణం a ను ఈ విధంగా మార్చవచ్చు:

Δ p = ρ g Δh

పై సందర్భంలో, ఈ సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా మార్చవచ్చు:

p ₁ − p ₂ = ρ gh → సమీకరణం బి

_{ఇప్పుడు మనం సమీకరణం 3 లోని p 1} – p _{2 ను} , సమీకరణం b లోని p ₁ – p _{2 తో} ప్రతిక్షేపిస్తాము :

ద్రవం ఒకటే కాబట్టి, సాంద్రత కూడా ఒకటే. సమీకరణం నుండి ρ ను తొలగించండి.

పిటోట్ ట్యూబ్‌లు

ద్రవ ప్రవాహ రేటును కొలవడానికి వెంటూరి మీటర్‌ను ఉపయోగిస్తే, వాయువు లేదా గాలి ప్రవాహ రేటును కొలవడానికి పిటోట్ ట్యూబ్‌ను ఉపయోగిస్తారు. పాయింట్ 1 వద్ద ఉన్న రంధ్రం గాలి ప్రవాహానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ రెండు రంధ్రాల స్థానాన్ని పిటోట్ ట్యూబ్ చివర నుండి తగినంత దూరంలో ఉంచుతారు, తద్వారా రంధ్రం వెలుపల గాలి యొక్క రేటు మరియు పీడనం, స్వేచ్ఛగా ప్రవహించే గాలి యొక్క రేటు మరియు పీడనంతో సమానంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, v₁ = స్వేచ్ఛగా ప్రవహించే గాలి ప్రవాహ రేటు (దీనినే మనం కొలుస్తాము) మరియు మానోమీటర్ యొక్క ఎడమ పాదం (ఎడమ పైపు) పై ఒత్తిడి = స్వేచ్ఛగా ప్రవహించే గాలి పీడనం (P₁).

మానోమీటర్ యొక్క కుడి పాదానికి దారితీసే రంధ్రం, గాలి ప్రవాహానికి లంబంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, ఈ రంధ్రం (మధ్య భాగం) గుండా ప్రవహించే గాలి వేగం తగ్గి, అది బిందువు 2 వద్దకు చేరుకున్నప్పుడు ఆగిపోతుంది. ఈ సందర్భంలో, v ₂ = 0. మానోమీటర్ యొక్క కుడి పాదం వద్ద ఉన్న పీడనం, బిందువు 2 వద్ద ఉన్న గాలి పీడనానికి (P ₂ ) సమానంగా ఉంటుంది. బిందువు 1 మరియు బిందువు 2 యొక్క ఎత్తు దాదాపు ఒకే విధంగా ఉంటుంది (తేడా మరీ పెద్దది కాదు), కాబట్టి దానిని విస్మరించవచ్చు.

పీడనంలో తేడా (P ₂ – P ₁ ) = మానోమీటర్‌లోని ద్రవం యొక్క హైడ్రోస్టాటిక్ పీడనం (మానోమీటర్‌లో నల్లగా ఉండేది ద్రవం, పాదరసం). గణితశాస్త్రపరంగా ఇలా వ్రాయవచ్చు:

p ₂ – p ₁ = ρ 'gh → సమీకరణం 2

ρ '= మానోమీటర్‌లోని ద్రవం యొక్క సాంద్రత

సమీకరణం 1 మరియు సమీకరణం 2. ఎడమ భాగం ఒకే విధంగా ఉంటుంది (P ₂ – P ₁ ). అందువల్ల, సమీకరణాలు 1 మరియు 2 లను ఈ విధంగా మార్చవచ్చు:

పైపెట్‌తో త్రాగండి

మీరు ఎప్పుడైనా పైపెట్ ఉపయోగించి నీళ్లు తాగారా? మనం పైపెట్ ఉపయోగించి నీళ్లు పీల్చినప్పుడు, పైపెట్‌లోని గాలి వేగాన్ని పెంచుతాము. ఈ సందర్భంలో, మన నోటి దగ్గర ఉన్న పైపెట్‌లోని గాలికి ఎక్కువ వేగం ఉంటుంది. ఫలితంగా, పైపెట్ భాగంలో గాలి పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. పానీయానికి దగ్గరగా ఉన్న పైపెట్ భాగంలోని గాలికి వేగం తక్కువగా ఉంటుంది. వేగం తక్కువగా ఉండటం వల్ల, పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. గాలి పీడనంలోని ఈ వ్యత్యాసం వల్ల మనం తాగే నీరు మన నోట్లోకి ప్రవహిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ద్రవం గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉన్న పైపెట్ భాగం నుండి గాలి పీడనం తక్కువగా ఉన్న పైపెట్ భాగం వైపు కదులుతుంది.

చిమ్నీ

మీరు పొగగొట్టాన్ని చూశారా? పొగ గొట్టం గుండా పొగ ఎందుకు పైకి వెళ్తుంది? మొదటిది, దహనం వల్ల వెలువడే పొగ అధిక ఉష్ణోగ్రతను కలిగి ఉంటుంది. అధిక ఉష్ణోగ్రత కారణంగా, గాలి సాంద్రత తక్కువగా ఉంటుంది. తక్కువ సాంద్రత ఉన్న గాలి సులభంగా తేలుతుంది లేదా పైకి కదులుతుంది. కారణం ఇది మాత్రమే కాదు. ఈ సమస్యలో బెర్నౌలీ సూత్రం కూడా ఇమిడి ఉంది.

రెండవది, బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం గాలి ప్రవాహ వేగం ఎక్కువగా ఉంటే పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది, లేకపోతే గాలి ప్రవాహ వేగం తక్కువగా ఉంటే పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. చిమ్నీ పైభాగం ఆరుబయట ఉంటుంది. చిమ్నీ పైభాగంలో గాలి వీస్తూ ఉంటుంది, కాబట్టి దాని చుట్టూ గాలి పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. మూసి ఉన్న గదిలో గాలి వీయదు, కాబట్టి గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. అందువల్ల, పొగ చిమ్నీ ద్వారా బయటకు వెళ్లింది. గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉన్న ప్రదేశం నుండి గాలి పీడనం తక్కువగా ఉన్న ప్రదేశానికి కదులుతుంది.

నేలలో ఎలుక బొరియ

కింది పటాన్ని గమనించండి. ఇది నేలలోని ఒక ఎలుక బొరియ యొక్క పటం. ఎలుకలకు కూడా బెర్నౌలీ సూత్రం తెలుసు. ఊపిరి ఆడకపోవడం వల్ల చనిపోవడం వాటికి ఇష్టం ఉండదు, అందుకే అవి వేర్వేరు ఎత్తులలో రెండు బొరియలు చేస్తాయి. నేల ఉపరితలంపై ఎత్తులో తేడా ఉండటం వల్ల, గాలి ఇతర గాలితో తోసుకుంటుంది. ఇది పెద్ద వ్యాసం ఉన్న గొట్టం నుండి నీరు చిన్న వ్యాసం ఉన్న గొట్టంలోకి ప్రవహించడం లాంటిది. అందువల్ల, గాలి వేగం పెరిగి, గాలి పీడనం తగ్గుతుంది.

గాలి పీడనంలో వ్యత్యాసం ఉండటం వల్ల, గాలి ఎలుక కన్నం గుండా ప్రవహించవలసి వస్తుంది. గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉన్న ప్రదేశం నుండి తక్కువగా ఉన్న ప్రదేశానికి గాలి ప్రవహిస్తుంది.

విమానం రెక్కలు మరియు డైనమిక్ లిఫ్ట్

విమానాలు ఎగరడానికి కారణమయ్యే అంశాలలో రెక్కలు ఒకటి. రెక్కల ఆకారం వంపుగా ఉంటుంది, మరియు ముందు భాగం వెనుక భాగం కంటే మందంగా ఉంటుంది. ఈ రెక్కల ఆకారాన్ని ఏరోఫాయిల్ అంటారు. ఈ ఆలోచనను పక్షుల రెక్కల నుండి అనుకరించారు. పక్షుల రెక్కల ఆకారం కూడా అలాగే ఉంటుంది (పక్షుల రెక్కలు వంపుగా ఉంటాయి, మరియు ముందు భాగం మందంగా ఉంటుంది). తేడా ఏమిటంటే, పక్షుల రెక్కలను రెపరెపలాడించవచ్చు, కానీ విమానాల రెక్కలను అలా చేయలేము. పక్షులు తమ రెక్కలను రెపరెపలాడించుకోవడం వల్ల ఎగరగలవు, అందువల్ల రెక్కకు ఇరువైపులా గాలి ప్రవాహం ఉంటుంది. విమానం రెక్కకు ఇరువైపులా గాలి ప్రవహించాలంటే, విమానం ముందుకు కదలాలి. మానవులు విమానాలను కదిలించడానికి యంత్రాలను ఉపయోగిస్తారు.

రెక్క ముందు భాగం పైకి వంగేలా రూపొందించబడింది. కింద నుండి ప్రవహించే గాలి, పైనున్న గాలితో తోపులాడుతుంది. ఇది, పెద్ద అడ్డుకోత వైశాల్యం ఉన్న గొట్టం నుండి సన్నని అడ్డుకోత వైశాల్యం ఉన్న గొట్టంలోకి నీరు ప్రవహించడం లాంటిది. ఫలితంగా, రెక్క పైన గాలి ప్రవాహ వేగం పెరుగుతుంది. ఎందుకంటే గాలి వేగం పెరిగేకొద్దీ, గాలి పీడనం తగ్గుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, రెక్క కింద గాలి ప్రవాహ వేగం తక్కువగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అక్కడ గాలి తోపులాడదు (గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది). ఈ పీడన వ్యత్యాసం ఉండటమే విమానం రెక్కను పైకి లేపడానికి కారణమవుతుంది.

బెర్నౌలీ సూత్రం అనేది కారకాలలో ఒకటి మాత్రమే. మరొక కారణం ద్రవ్యవేగం. సాధారణంగా, విమానం రెక్క కొద్దిగా పైకి వంగి ఉంటుంది. రెక్క యొక్క కింది ఉపరితలాన్ని తాకిన గాలి కిందికి మళ్లుతుంది. విమానానికి ఎడమ, కుడి వైపులా రెండు రెక్కలు ఉండటం వల్ల, కిందికి మళ్లిన గాలి ఒకదానితో ఒకటి ఢీకొంటుంది. ఈ విధంగా ఢీకొన్న గాలి అణువుల ద్రవ్యవేగంలో వచ్చే మార్పులు అదనపు ఉద్ధరణ శక్తిని ఉత్పత్తి చేస్తాయి.

రెక్క ఆకారం తోక వైపుకు వంగి ఉండటం వల్ల, గాలి రెక్క ద్వారా మళ్ళీ కిందికి ప్రవహించేలా నెట్టబడుతుంది. న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారం, ఒక చర్య బలం ఉన్నందున, ఒక ప్రతిచర్య బలం కూడా ఉంటుంది. రెక్కలు గాలిని కిందికి నెడతాయి కాబట్టి, గాలి రెక్కలను పైకి కదిలేలా నెట్టాలి. ఈ సందర్భంలో, గాలి రెక్కపై ఉద్ధరణ బలాన్ని అందిస్తుంది. కాబట్టి, విమానం పైకి లేవడానికి కేవలం బెర్నౌలీ సూత్రం మాత్రమే కారణం కాదు.