అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం గురించిన వ్యాసం
కుళాయి మూతి నుండి బయటకు వచ్చే నీటి వేగాన్ని గమనిస్తూ, నీటి కుళాయిని నెమ్మదిగా తెరవడానికి ప్రయత్నించండి. ఇప్పుడు పోల్చి చూడండి, కుళాయి మూతి మూసి ఉన్నప్పుడు మరియు తెరిచి ఉన్నప్పుడు నీటి ప్రవాహ వేగం ఎక్కడ ఎక్కువగా ఉంది? ఎందుకలా? దీనిని అర్థం చేసుకోవడానికి, దయచేసి అవిచ్ఛిన్న సమీకరణాన్ని అధ్యయనం చేయండి.
ప్రసరణ
ఒక స్థిరమైన ప్రవాహంలో, A అనే ఒక బిందువు వద్ద ప్రతి ద్రవ కణం యొక్క వేగం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. B బిందువును దాటేటప్పుడు, ద్రవ కణాల వేగం మారవచ్చు. అయినప్పటికీ, B బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు, దాని వెనుక నుండి వచ్చే ద్రవ కణాలు, దాని ముందు వచ్చే ద్రవ కణాల వేగంతోనే ప్రవహిస్తాయి. అదేవిధంగా C బిందువు వద్దకు వచ్చినప్పుడు మరియు ఆ విధంగానే కొనసాగుతుంది. ప్రవాహ రేఖ అనేది A, B, మరియు C బిందువులను కలిపే ఒక వక్రరేఖ.
ప్రవాహ గొట్టం
ద్రవ ప్రవాహంలోని ప్రతి బిందువు గుండా వెళ్ళే ప్రవాహరేఖలను మనం వర్ణించవచ్చు. ఒక స్థిరమైన ద్రవ ప్రవాహాన్ని మనం గమనిస్తే, ఒక ఊహాత్మక ఉపరితల వైశాల్యంపై ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో ప్రయాణించే కొన్ని ప్రవాహరేఖలు ఒక ప్రవాహ నాళాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఏ ద్రవ కణాలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకోవు, కానీ ఎల్లప్పుడూ సమాంతరంగా ఉంటాయి, మరియు ఆ ప్రవాహ నాళం ఆకారం మారకుండా ఉండే ఒక పైపును పోలి ఉంటుంది. నాళం యొక్క ఒక చివర నుండి ప్రవేశించిన ద్రవం, మరొక చివర నుండి బయటకు వస్తుంది.
డెబిట్
ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ఒక నిర్దిష్ట అడ్డుకోత గుండా ప్రవహించే ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని డిశ్చార్జ్ తెలియజేస్తుంది. గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ విధంగా చెప్పవచ్చు:
విడుదల = ద్రవ పరిమాణం / కాల వ్యవధి
Q = V / t
మీ అవగాహనను పెంచడానికి, మనం ఒక ఉదాహరణను తీసుకుందాం. ఉదాహరణకు, ఒక పైపు గుండా ద్రవం ప్రవహిస్తుంది. పైపులు సాధారణంగా స్థూపాకారంలో ఉండి, ఒక నిర్దిష్ట అడ్డుకోత వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఆ పైపుకు పొడవు కూడా ఉంటుంది.
ఒక ద్రవం పైపులో L దూరం ప్రవహించినప్పుడు, పైపులోని ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం V = AL (V = ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం, A = అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు L = పైపు పొడవు). ఒక ద్రవం పైపులో L పొడవునా ప్రవహించడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కాబట్టి, ఆ ద్రవం యొక్క పరిమాణాన్ని మనం ఈ విధంగా చెప్పవచ్చు:
v = s / t = L / t —> L = vt అయినందున, పై సమీకరణం ఈ విధంగా మారుతుంది:
ఈ విధంగా, ఒక నిర్దిష్ట అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు పొడవు గల పైపు గుండా ఒక ద్రవం కొంత కాలం పాటు ప్రవహించినప్పుడు, విడుదలయ్యే ద్రవం పరిమాణం (Q) అనేది అడ్డుకోత వైశాల్యం (A) మరియు ద్రవ ప్రవాహ వేగం (v)ల లబ్ధానికి సమానంగా ఉంటుంది.
అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం
కింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా, వేర్వేరు వ్యాసం ఉన్న పైపులో ద్రవ ప్రవాహాన్ని సమీక్షించండి.
ఈ చిత్రం ఎడమ నుండి కుడికి ద్రవ ప్రవాహాన్ని చూపిస్తుంది (ద్రవం పెద్ద వ్యాసం గల పైపు నుండి చిన్న వ్యాసం గల పైపులోకి ప్రవహిస్తుంది). చుక్కల గీత క్రమబద్ధం చేయబడింది.
A 1 = పెద్ద వ్యాసం గల పైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం, A 2 = చిన్న వ్యాసం గల పైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం, v 1 = పెద్ద వ్యాసం గల పైపులో ద్రవ ప్రవాహ వేగం, v 2 = చిన్న వ్యాసం గల పైపులో ద్రవ ప్రవాహ వేగం, L = ద్రవం ప్రయాణించిన దూరం.
ఒక స్థిరమైన ప్రవాహంలో, ఒక బిందువు వద్ద ద్రవ కణాల ప్రవాహ వేగం, ఆ బిందువు గుండా వెళ్ళే ఇతర ద్రవ కణాల ప్రవాహ వేగానికి సమానంగా ఉంటుంది. ద్రవ ప్రవాహాలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకోవు (వాటి రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి). అందువల్ల, పైపు యొక్క ఒక చివరలోకి ప్రవేశించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి, మరొక చివర నుండి బయటకు వెళ్ళే ద్రవ ద్రవ్యరాశికి సమానంగా ఉండాలి. ఒకవేళ పెద్ద వ్యాసం ఉన్న గొట్టంలోకి ఒక నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశితో ప్రవేశించే ద్రవం, చిన్న వ్యాసం ఉన్న పైపు నుండి అదే ద్రవ్యరాశితో బయటకు వెళ్తుంది.
ఇప్పుడు పైన ఉన్న పైపు పటాన్ని పరిశీలించండి. పెద్ద వ్యాసం గల పైపును మరియు చిన్న వ్యాసం గల పైపును సమీక్షించండి.
ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో, కొన్ని ద్రవాలు పెద్ద వ్యాసం (A 1 ) ఉన్న పైపు భాగం గుండా L 1 (L 1 = v 1 t) వరకు ప్రవహిస్తాయి . ప్రవహించే ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం V 1 = A 1 L 1 = A 1 v 1 t. అదే కాల వ్యవధిలో, మరికొన్ని ద్రవాలు చిన్న వ్యాసం (A 2 ) ఉన్న పైపు భాగం గుండా L 2 (L 2 = v 2 t) వరకు ప్రవహిస్తాయి . ప్రవహించే ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం V 2 = A 2 L 2 = A 2 v 2 t.
సంపీడనం చెందని ద్రవాల అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం
సంపీడనం చెందని ద్రవాలలో, ద్రవ సాంద్రత అది ప్రయాణించే ప్రతి బిందువు వద్ద ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. A1 అడ్డుకోత వైశాల్యం (పెద్ద పైపు వ్యాసం) ఉన్న పైపులో ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి:
అదేవిధంగా, A₂ అడ్డుకోత వైశాల్యం (చిన్న పైపు వ్యాసం) ఉన్న పైపులో ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి:
స్థిరమైన ప్రవాహంలో, లోపలికి వచ్చే ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశి, బయటకు వచ్చే ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశికి సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
కాబట్టి, సంపీడనం చెందని ద్రవాలలో అవిచ్ఛిన్న సమీకరణం :
A 1 v 1 = A 2 v 2 — సమీకరణం 1
A 1 = అడ్డుకోత వైశాల్యం 1, A 2 = అడ్డుకోత వైశాల్యం 2, v 1 = విభాగం 1లో ద్రవ ప్రవాహ వేగం, v 2 = విభాగం 2లో ద్రవ ప్రవాహ వేగం, A v = ఘనపరిమాణం యొక్క ప్రవాహ రేటు (V / t) = ఉత్సర్గం.
పైపు లేదా ప్రవాహ నాళం పొడవునా ప్రతి బిందువు వద్ద ఉత్సర్గం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుందని సమీకరణం 1 చూపిస్తుంది. పైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం తగ్గినప్పుడు, ద్రవ ప్రవాహ రేటు పెరుగుతుంది, అయితే పైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం పెరిగినప్పుడు, ద్రవ ప్రవాహ రేటు తగ్గుతుంది.
కుళాయి నోటిలో కొంత భాగాన్ని మూసివేసినప్పుడు, ఆ భాగాన్ని మూసివేయనప్పుడు కంటే నీటి ప్రవాహం ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే, కుళాయి నోటిలో కొంత భాగాన్ని మూసివేసినప్పుడు దాని అడ్డుకోత వైశాల్యం తగ్గి, నీటి ప్రవాహ వేగం పెరుగుతుంది. కానీ, మన కుళాయి నోటిలో కొంత భాగం మూసి ఉన్నా లేకపోయినా, నీటి ప్రవాహ మార్గంలో ప్రతి బిందువు వద్ద ద్రవాల ప్రవాహ వేగం లేదా విడుదల ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుందని తెలుసుకోవడం ముఖ్యం. అలాంటప్పుడు ద్రవ ప్రవాహ వేగంలో మార్పు ఏమిటి?
మరి నదిలో నీటి ప్రవాహం సంగతేంటి? నదిలోని నిస్సార భాగం కంటే లోతైన భాగానికి అడ్డుకోత వైశాల్యం ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి లోతైన నదిలో నీటి ప్రవాహ వేగం, నిస్సార భాగంలోని నీటి ప్రవాహ వేగం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
సంపీడన ద్రవాల అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం
సంపీడనానికి గురైన ద్రవానికి, దాని సాంద్రత ఎల్లప్పుడూ ఒకేలా ఉండదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ద్రవాన్ని సంపీడనం చేసినప్పుడు దాని సాంద్రత మారుతుంది. ద్రవాన్ని సంపీడనం చేయకపోతే, దాని సాంద్రతను సమీకరణం నుండి తీసివేస్తారు, కాబట్టి ఈ సందర్భంలో ద్రవ సాంద్రతను సమీకరణంలో చేర్చుతారు. ఇంతకు ముందు రాబడిన సమీకరణాన్ని సూచిస్తూ, సంపీడనానికి గురైన ద్రవం కోసం సమీకరణాన్ని రాబడదాం.
లోపలికి ప్రవేశించే ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశి, బయటకు వెళ్లే ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశికి సమానం, కాబట్టి :
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
ద్రవ ప్రవాహ అంతరం ఒకే విధంగా ఉంటుంది కాబట్టి దానిని తొలగించవచ్చు. సమీకరణాలు ఇలా మారుతాయి:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → సమీకరణం 2
ఇది సంపీడనం చేయబడిన ద్రవానికి సంబంధించిన సమీకరణం. తేడా ద్రవం యొక్క సాంద్రతలో ఉంటుంది. ద్రవాన్ని సంపీడనం చేస్తే, సాంద్రత మారుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ద్రవాన్ని సంపీడనం చేయకపోతే, సాంద్రత ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది, కాబట్టి దానిని సమీకరణం నుండి తొలగించవచ్చు.
ఉదాహరణ సమస్య 1:
10 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపు గుండా నీరు 2 మీ/సె వేగంతో ప్రవహిస్తోంది. నీటి ఉత్సర్గం ఎంత?
తెలిసినది :
పైపు వ్యాసం = 10 సెం.మీ.
పైపు వ్యాసార్థం (r) = 5 సెం.మీ = 0.05 మీ
నీటి వేగం (v) = 2 మీ/సె
కావలసినది : డెబిట్
పరిష్కారం:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 మీ) 2 (2 మీ/సె)
Q = (3.14)(0.0025 మీ 2 )(2 మీ/సె)
Q = 0.0157 మీ 3 /సె
ఉదాహరణ సమస్య 2:
20 సెం.మీ వ్యాసం గల ఒక పైపును 10 సెం.మీ వ్యాసం గల మరొక పైపుకు అనుసంధానించారు. 20 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపులో నీటి వేగం 4 మీ/సె అయితే, 10 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపులో నీటి వేగం ఎంత?
తెలిసినది :
వ్యాసం 1 = 20 సెం.మీ (r 1 = 10 సెం.మీ = 0.1 మీ)
v 1 = 4 మీ/సె
వ్యాసం 2 = 10 సెం.మీ (r 2 = 5 సెం.మీ = 0.05 మీ)
కావలసినది : v 1
సమాధానం :
ప్రశ్న 1 = ప్రశ్న 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 మీ) 2 (4 మీ/సె) = (0.05 మీ) 2 (v 2 )
(0.01 మీ 2 )(4 మీ/సె) = (0.0025 మీ 2 )(v 2 )
(0.04 మీ 3 /సె) = (0.0025 మీ 2 )(వి 2 )
v 2 = 16 మీ/సె
