వెక్టర్స్ చేరిక

వెక్టర్ల సంకలనం గురించిన వ్యాసం

1. సదిశ మరియు అదిశ రాశులు

ప్రాథమిక మరియు ఉత్పాదిత రాశులతో పాటు, భౌతిక రాశులను అదిశ రాశులు మరియు సదిశ రాశులు అనే మరో రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు. ద్రవ్యరాశి, దూరం, కాలం మరియు ఘనపరిమాణం వంటివి అదిశ రాశులు; వీటికి కేవలం పరిమాణం మాత్రమే ఉంటుంది కానీ దిశ ఉండదు. అయితే, స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణం మరియు బలం వంటివి సదిశ రాశులు; వీటికి పరిమాణంతో పాటు దిశ కూడా ఉంటుంది.

a. అదిశ మరియు సదిశ రాశుల మధ్య వ్యత్యాసం

ఒక బంతి ద్రవ్యరాశి 400 గ్రాములు అని మీరు చెబితే, ఆ బంతి ద్రవ్యరాశిని తెలుసుకోవడానికి ఈ వాక్యం సరిపోతుంది. బంతి ద్రవ్యరాశిని కనుగొనడానికి మీకు దిశ అవసరం లేదు. అదేవిధంగా కాలం, ఉష్ణోగ్రత, ఘనపరిమాణం, సాంద్రత మొదలైన వాటి విషయంలో కూడా. కేవలం పరిమాణంలో మాత్రమే వ్యక్తపరచలేని అనేక భౌతిక రాశులు ఉన్నాయి. ఒక పిల్లవాడు 100 మీటర్ల దూరం కదిలాడు అని మీరు చెబితే, ఈ వాక్యం సరిపోదు. అతను ఎక్కడికి కదిలాడు? అది ఉత్తరమా, దక్షిణమా, తూర్పునా, లేదా పడమరనా? అని మీరు అడగవచ్చు. అదేవిధంగా, మీరు బల్లను 200 N బలంతో నెట్టారు అని చెబితే.

మీరు ఎక్కడ డ్రైవ్ చేస్తారు? అయితే, అటువంటి పరిమాణాలను సదిశ రాశులు అంటారు, వీటికి పరిమాణం మరియు దిశ యొక్క వివరణ అవసరం. స్థానభ్రంశం, త్వరణం, ప్రచోదనం, ద్రవ్యవేగం మొదలైనవి సదిశ రాశులకు ఉదాహరణలు. ఆ రాశులకు సంబంధించిన విషయాలను అధ్యయనం చేసినప్పుడు మీరు దానిని మరింత స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోగలరు.

బి. ఒక వెక్టర్‌ను గీయండి

వెక్టర్‌ను బాణం గుర్తుతో సూచిస్తారు. ఆ బాణం గుర్తును ఎల్లప్పుడూ వెక్టర్ యొక్క దిశలోనే ఉండేలా గీస్తారు. బాణం పొడవును వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం అంటారు. ఉదాహరణకు, పటంలో 2 N పరిమాణం గల ఒక బల వెక్టర్ (F) దిశ ఈశాన్యం వైపు లేదా x-అక్షం చుట్టూ 45 ^{° వైపు ఉంది.}

c. సదిశ రాశులను వ్రాయడానికి నియమాలు

ఒక వెక్టర్‌ను రాసేటప్పుడు, చేతిరాతను ఉపయోగిస్తే, వెక్టర్ చిహ్నాన్ని సాధారణంగా పెద్ద అక్షరాలతో ఇటాలిక్స్‌లో రాస్తారు, మరియు దాని పైన ఒక బాణం గుర్తును చేర్చాలి. ముద్రిత పుస్తకాలలో, వెక్టర్ చిహ్నాలను పెద్ద అక్షరాలతో బోల్డ్‌గా రాస్తారు, ఉదాహరణకు, F. వెక్టర్ యొక్క పరిమాణాన్ని చేతిరాతలో రాస్తే, వెక్టర్ యొక్క పరిమాణాన్ని |F| అని రాస్తారు. ముద్రిత పుస్తకాలలో, వెక్టర్ యొక్క పరిమాణాన్ని ఇటాలిక్స్‌లో రాస్తారు, ఉదాహరణకు , F.

2. సదిశల సంకలనం—గ్రాఫికల్ పద్ధతులు

గ్రాఫికల్‌గా వెక్టర్లను జోడించడానికి టెయిల్-టు-టిప్ పద్ధతి మరియు సమాంతర చతుర్భుజ పద్ధతితో సహా అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి.

a. వెక్టర్లను జోడించే తోక నుండి కొన పద్ధతి

వెక్టర్లు A మరియు B మనకు తెలుసు. వెక్టర్ A = 3 సెం.మీ. x-అక్షంతో ఏకీభవిస్తుంది (తూర్పు వైపు). వెక్టర్ B = 2 సెం.మీ. x-అక్షంతో 30 ^° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది (ఈశాన్య వైపు). తోక-కొన పద్ధతిని ఉపయోగించి A మరియు B లను గ్రాఫికల్‌గా కలపండి. a) R = A + B b) R = A – B

ఫలిత సదిశ (R) యొక్క పరిమాణాన్ని స్కేలు ఉపయోగించి కొలుస్తారు. ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను కోణమాపకం ఉపయోగించి కొలుస్తారు.

తెలిసిన సదిశలు A, B, మరియు C. సదిశ A = 3 సెం.మీ. x-అక్షంతో ఏకీభవిస్తుంది (తూర్పు వైపు). సదిశ B = 2 సెం.మీ. x-అక్షంతో 30 ^{° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది (ఈశాన్యం వైపు). సదిశ C = 1 సెం.మీ. x-అక్షంతో 60 °} కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది (ఈశాన్యం వైపు). తోక నుండి కొన వరకు పద్ధతిని ఉపయోగించి A, B, మరియు C లను గ్రాఫికల్‌గా కలపండి.

a) R = A + B + C

బి) R = A – B – C

ఫలిత సదిశ (R)ను కొలబద్దను ఉపయోగించి కొలుస్తారు. ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను కోణమాపకాన్ని ఉపయోగించి కొలుస్తారు.

బి. సమాంతర చతుర్భుజ పద్ధతి

తెలిసిన సదిశలు A, B, మరియు C. సదిశ A = 3 సెం.మీ. x-అక్షంతో ఏకీభవిస్తుంది (తూర్పు వైపు). సదిశ B = 2 సెం.మీ. x-అక్షంతో 30 ^° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది (ఈశాన్యం వైపు). సదిశ C = 1 సెం.మీ. x-అక్షంతో 60 ^{° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది (ఈశాన్యం వైపు). ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ఉపయోగించి A, B, మరియు C లను రేఖాచిత్ర రూపంలో కలపండి.}

a) R = A + B

బి) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

ఫలిత సదిశ (R)ను కొలబద్దను ఉపయోగించి కొలుస్తారు. ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను కోణమాపకాన్ని ఉపయోగించి కొలుస్తారు.

3. వెక్టర్ల సంకలనం – aవిశ్లేషణాత్మక పద్ధతి

గ్రాఫికల్ పద్ధతి ద్వారా ఫలిత వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం మరియు దిశను నిర్ణయించడం ఒక విధానం. ఫలితాల కచ్చితత్వం అనేది స్కేలును గీయడంలో మరియు చదవడంలో మీ కచ్చితత్వంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. గణిత లెక్కల ద్వారా ఫలిత వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం మరియు దిశను మరింత కచ్చితంగా పొందవచ్చు.

a. కొసైన్ నియమాన్ని ఉపయోగించి 2 వెక్టర్ల మొత్తాన్ని లెక్కించడం

ఫలిత వెక్టర్ యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడానికి సూత్రం:

ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను నిర్ణయించే సూత్రం:

C = ఫలిత వెక్టర్

A = వెక్టర్ 1

B = వెక్టర్ 2

cos ∠(A, B) = సదిశలు A మరియు B లచే ఏర్పడిన కోణం

నమూనా సమస్య 1:

F ₁ = 2 N అనేది x-అక్షం చుట్టూ 30° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది, F ₂ = 3 N అనేది x-అక్షం చుట్టూ 60 ^° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది , θ = 30 ^°.

నమూనా సమస్య 2:

F ₁ = 2 N అనేది x-అక్షంతో ఏకీభవిస్తుంది, F ₂ = 3 N అనేది x-అక్షం గురించి 90 ^o కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది , θ = 90 ^o.

బి. భాగాల ద్వారా వెక్టర్లను కలపడం

క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా, x-అక్షం చుట్టూ ఒక నిర్దిష్ట కోణాన్ని ఏర్పరిచే F అనే సదిశను సమీక్షించండి. Fx _{మరియు} Fy _{అనేవి} F సదిశ యొక్క అనుఘటక సదిశలు.

కాంపోనెంట్ వెక్టర్ యొక్క మాగ్నిట్యూడ్ ఈ ఫార్ములాను ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది:

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

రెండు వెక్టర్లు Fని సమీక్షించండి₁ మరియు F₂ క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా, x-అక్షం గురించి ఒక నిర్దిష్ట కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. F_1x మరియు F_1y వెక్టర్ F యొక్క భాగాలు₁, కాబట్టి F_2x మరియు F_2y వెక్టర్ F యొక్క భాగాలు₂.

కాంపోనెంట్ వెక్టర్‌ను ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయిస్తారు:

F_1x = ఎఫ్₁ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

కాంపోనెంట్ వెక్టర్లను జోడించడం:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

ఫలిత వెక్టర్‌ను ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయిస్తారు:

ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయిస్తారు:

నమూనా సమస్య 1:

పరిమాణం 20 N ఉండి, x-అక్షంతో 30 ^° కోణాన్ని ఏర్పరిచే సదిశ F యొక్క భాగాలను కనుగొనండి .

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

నమూనా సమస్య 2:

F ₁ = 20 N అనేది x-అక్షం చుట్టూ 30 ^° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది మరియు F ₂ = 15 N అనేది x-అక్షం చుట్టూ 180° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఫలిత సదిశ యొక్క పరిమాణం మరియు దిశను కనుగొనండి.

F _1x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

కాంపోనెంట్ వెక్టర్లను జోడించడం:

F _x = F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

ఫలిత వెక్టర్:

F ₂ = F _x ² + F _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

F = 10.2N

ఫలిత వెక్టర్ యొక్క దిశ:

θ = tan −15 = 78.7 ^° x-అక్షం గురించి

నమూనా సమస్య 3:

F₁, F_2, మరియు F₃ 20 N, 30 N మరియు 40 N. F₁ 60 కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది^o x-అక్షం గురించి, F₂ 150 కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది^o x-అక్షం గురించి, మరియు F₃ 315 కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది^o x-అక్షం గురించి. ఫలిత సదిశ యొక్క పరిమాణం మరియు దిశను నిర్ణయించండి.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

కాంపోనెంట్ వెక్టర్‌ను జోడించడం:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

ఫలిత వెక్టర్:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

F = 13N

ఫలిత వెక్టర్ యొక్క దిశ:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o x-అక్షం గురించి