எறிகணை இயக்கம்

எறிபொருள் இயக்கம் பற்றிய கட்டுரை மற்றும் தீர்வுகள் அடங்கிய மாதிரிச் சிக்கல்கள்.

ஆரம்ப வேகம் (v_o) மற்றும் ஆரம்ப வேகத்தின் கூறுகள் (v_ox மற்றும் வி_oy)

ஒரு பொருளின் பரவளைய இயக்கங்களுக்கு எப்போதும் ஒரு ஆரம்ப வேகம் இருக்கும். பரவளைய இயக்கம் என்பது கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து திசைகளில் ஏற்படும் இயக்கங்களின் கலவையாக இருப்பதால், ஆரம்ப வேகத்திற்கும் கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து கூறுகள் உள்ளன.

படம் 1 மற்றும் 3-இல் உள்ளவாறு பொருள் பரவளைய வடிவில் நகர்ந்தால், கிடைமட்டத் திசையிலான ஆரம்ப வேகம் (v _ox ) மற்றும் செங்குத்துத் திசையிலான ஆரம்ப வேகம் (v _oy ) ஆகியவை பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

படம் 2-இல் உள்ளவாறு பொருள் பரவளைய வடிவில் நகர்ந்தால், v _o = v _ox (v _oy = 0)

திசைவேகம் (வி)_x மற்றும் வி_y) மற்றும் நிலை (x மற்றும் y)

ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து திசைகளில் உள்ள வேகம் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

v _x = v _ox = மாறிலி ( சீரான நேர்கோட்டு இயக்கம் )

v _y = v _oy + gt அல்லது v _y ² = v _oy ² + 2 gh (தடையற்ற வீழ்ச்சி இயக்கம்)

ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் கிடைமட்ட (x) மற்றும் செங்குத்து (y) திசைகளில் பொருட்களின் நிலை பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

திசைவேகம் (v) மற்றும் நிலை (h) ஆகியவற்றின் தொகுபயன்

குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் ஏற்படும் தொகுபயன் திசைவேகம் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் பொருட்களின் திசையானது பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

குறிப்புகள்:

1. பரவளைய இயக்கத்தின் கிடைமட்டக் கூறு, சீரான நேர்கோட்டு இயக்கமாகக் கருதப்படுவதால், vox = vx என்பது எப்போதும் மாறிலியாக இருக்கும்.

2. பரவளைய இயக்கத்தின் செங்குத்துக் கூறு, தடையற்ற வீழ்ச்சி இயக்கமாகக் கருதப்படுகிறது. எனவே, படம் 1 மற்றும் 3-இல் உள்ளதைப் போல, ஒரு பொருள் பரவளைய வடிவில் நகர்ந்தால், அதன் அதிகபட்ச உயரத்தில் திசைவேகத்தின் செங்குத்துக் கூறு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் (v _y = 0). நீங்கள் ஒரு கோலியை அதிகபட்ச உயரத்தில் செங்குத்தாக மேல்நோக்கி எறிந்தால், அது கீழ்நோக்கித் திரும்புவதற்கு முன்பு ஒரு கணம் ஓய்வில் இருக்கும் (v _y = 0). எனவே, அதிகபட்ச உயரத்தில் பரவளைய வடிவில் நகரும் பொருளின் வேகம் = v _x = v _ox

3. படம் 2-இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி பொருள் பரவளைய வடிவில் நகர்ந்தால், பரவளைய இயக்கத்தின் செங்குத்துக் கூறு, தடையற்ற வீழ்ச்சி இயக்கமாகக் கருதப்படுகிறது. படம் 1 மற்றும் 3-இல் உள்ளவாறு பொருள் பரவளைய வடிவில் நகர்ந்தால், பரவளைய இயக்கத்தின் செங்குத்துக் கூறு, மேல்நோக்கிய செங்குத்து இயக்கமாகக் கருதப்படுகிறது.

மாதிரிச் சிக்கல்கள்:

1. ஒரு தோட்டா 20 மீ/வி ஆரம்ப வேகத்துடன் கிடைமட்ட திசையில் சுடப்படுகிறது. துப்பாக்கி தரையிலிருந்து 5 மீட்டர் உயரத்தில் இருந்தால், பின்வருவனவற்றைக் கண்டறியவும்:

(அ) ​​காற்றில் நேரம்

(ஆ) அதிகபட்ச உயரம்

(c) கிடைமட்ட தூரம்

(ஈ) தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் வேகம்

தீர்வு:

கிடைமட்ட திசையிலான இயக்கம், சீரான நேர்கோட்டு இயக்கத்தைப் போலவும், செங்குத்து திசையிலான இயக்கம், தடையற்ற வீழ்ச்சி இயக்கத்தைப் போலவும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது.

அறியப்பட்டவை:

v _ox = 20 மீ/வி, v _oy = 0 மீ/வி, h = 5 மீ, g = 9.8 மீ/வி ²

அ) காற்றில் செலவழித்த நேரம்

தடையற்ற வீழ்ச்சி இயக்கத்தில் நேர இடைவெளியை (t) கண்டறிவதே இதற்கான தீர்வாகும்.

அறியப்பட்டவை: v _oy = 0 மீ/வி, h = 5 மீ, g = 9.8 மீ/ ^வி²

தேவை: டி

b) அதிகபட்ச உயரம்

அதிகபட்ச உயரம் = h = 5 மீட்டர்.

c) கிடைமட்ட தூரம் (d)

இந்தத் தீர்வு, சீரான நேர்கோட்டு இயக்கத்தில் உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டது: v _ox = 20 மீ/வி, t = 1 வினாடி

தேவை: டி

d = vt

d = (20 மீ/வி)(1 வி) = 20 மீ

d) தோட்டா தரையில் படும்போது அதன் வேகம்

v _tx = v _ox = 20 மீ/வி

v _ty = ?

முதலில், செங்குத்து திசையில் இறுதி வேகத்தை (vty) கணக்கிடுகிறோம். இந்தத் தீர்வு, தடையற்ற வீழ்ச்சி இயக்கத்தின் இறுதி வேகத்தைக் கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டது: v _oy = 0, g = 9.8 மீ/வி² ^, t = 1 வி

தேவை: வி _டை

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 மீ/வி ² )(1 வி)

v _t = 9.8 மீ/வி

ஒரு தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் வேகம்:

தோட்டாவின் திசை:

v _tx என்பது நேர்மறை x-அச்சின் திசையிலும் (வலதுபுறம்) மற்றும் v _ty என்பது எதிர்மறை y-அச்சின் திசையிலும் (கீழ்நோக்கி) இருப்பதால்,

தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் திசையானது நேர்மறை x-அச்சுக்கு -26.1 ^{° ஆகும் (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்).}

2. பீரங்கியானது, கிடைமட்டத்திற்கு 30 ^° கோணத்தில் 60 மீ/வி வேகத்தில் ஒரு குண்டைச் சுட்டது. கண்டறியவும்:

(அ) ​​அதிகபட்ச உயரம்

(ஆ) அதிகபட்ச உயரத்தில் தோட்டாவின் வேகம்

(சி) காற்றில் செலவழித்த நேரம்

(ஈ) கிடைமட்ட தூரம்

(இ) தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் வேகம். தரை சமதளமாக இருப்பதாகக் கொள்வோம். 🙂

தீர்வு:

கிடைமட்ட திசையிலான இயக்கம், சீரான நேர்கோட்டு இயக்கத்தைப் போலவும், செங்குத்து திசையிலான இயக்கம், மேல்நோக்கிய செங்குத்து இயக்கத்தைப் போலவும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது.

அறியப்பட்டது: v _o = 60 மீ/வி, theta = 30 ^o.

அறியப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில், நாம் முதலில் ஆரம்ப வேகத்தின் (v _{o ) செங்குத்து (v oy} ) மற்றும் கிடைமட்ட (v _ox ) கூறுகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.

அ) அதிகபட்ச உயரம் (h)

இந்தத் தீர்வு, மேல்நோக்கிய செங்குத்து இயக்கத்தில் அதிகபட்ச உயரத்தைக் கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டவை:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

அ) அதிகபட்ச உயரம் (h)

இந்தத் தீர்வு, செங்குத்தான மேல்நோக்கிய இயக்கத்தில் அதிகபட்ச உயரத்தைக் கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டவை:

v _oy = 30 மீ/வி (இது தோட்டாவின் ஆரம்ப வேகம்)

v _ty = 0 மீ/வி (அதிகபட்ச உயரத்தில், தோட்டாவின் செங்குத்து திசைவேகம் = 0 மீ/வி. இதுவே இறுதி வேகம்.)

g = – 9.8 மீ/வி ²

தேவை: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 மணி

900 = 19.6 மணி நேரம்

h = 900 / 19.6

h = 45.9 மீட்டர்

தோட்டா அடைந்த அதிகபட்ச உயரம் = 45.9 மீட்டர்.

b) அதிகபட்ச உயரத்தில் வேகம்

அதிகபட்ச உயரத்தில், செங்குத்து திசையில் வேகம் = 0 மீ/வி. அதிகபட்ச உயரத்தில், கிடைமட்ட திசையில் மட்டுமே வேகம் இருக்கும். அதிகபட்ச உயரத்தில் கிடைமட்ட திசையில் உள்ள வேகம், கிடைமட்ட திசையில் உள்ள ஆரம்ப வேகத்திற்குச் சமம், அது 52.2 மீ/வி ஆகும். கிடைமட்ட திசையில் திசைவேகத்தின் திசை எப்போதும் மாறிலியாக இருக்கும், அதாவது, நேர்மறை x-அச்சின் திசையில் இருக்கும் (மேலே உள்ள வரைபடத்தில் ஒரு பொருளின் இயக்கம் விவரிக்கப்பட்டிருந்தால்).

c) காற்றில் செலவழித்த நேரம்

இந்தத் தீர்வு, செங்குத்தான மேல்நோக்கிய இயக்கம் பற்றிய விவாதத்தில் நேர இடைவெளியை (t) கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டவை:

v _oy = 30 மீ/வி (இது தோட்டாவின் செங்குத்து திசையிலான ஆரம்ப வேகம்)

g = – 9.8 மீ/வி ²

h = 0 மீ (தோட்டா தரையை நோக்கித் திரும்பும்போது, ​​செங்குத்து திசையில் தோட்டாவின் இடப்பெயர்வு = 0 மீ)

தேவை: டி

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 மீ/வி ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 டி

t = 30 / 4.9

t = 6.12 வினாடிகள்

காற்றில் செலவழித்த நேரம் = 6.12 வினாடிகள்

d) கிடைமட்ட தூரம் (d)

இந்தத் தீர்வு, சீரான நேர்கோட்டு இயக்கத்தில் உள்ள தூரத்தை (d) கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டவை:

v _ox = 52.2 மீ/வி

t = 6.12 வினாடிகள்

தேவை: டி

d = vt = (52.2 மீ/வி)(6.12 வினாடிகள்) = 319.5 மீ

இ) தோட்டா தரையில் படும்போது அதன் வேகம்

v _tx = v _ox = 52.2 மீ/வி

v _ty = ?

_{முதலில், செங்குத்து திசையில் இறுதி திசைவேகத்தை (v ty} ) கணக்கிடுகிறோம் . இதற்கான தீர்வு, செங்குத்தான மேல்நோக்கிய இயக்கத்தில் இறுதி வேகத்தைக் கண்டறிவதாகும்.

தேவை: v _oy = 30 மீ/வி, g = -9.8 மீ/வி² ^, t = 6.12 வினாடிகள்

தேவை: வி _டை

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 மீ/வி

எதிர்மறை குறியீடு, இறுதி திசைவேகத்தின் திசை கீழ்நோக்கியது என்பதைக் குறிக்கிறது. செங்குத்து திசையில் உள்ள ஆரம்ப திசைவேகம், செங்குத்து திசையில் உள்ள இறுதி திசைவேகத்திற்குச் சமம் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் வேகம்:

தோட்டாவின் திசை:

v _tx என்பது நேர்மறை x-அச்சின் திசையிலும் (வலதுபுறம்) மற்றும் vty என்பது எதிர்மறை y-அச்சின் திசையிலும் (கீழ்நோக்கி) இருப்பதால்,

தோட்டா தரையில் மோதும்போது அதன் திசைவேகத்தின் திசையானது, நேர்மறை x-அச்சைப் பொறுத்து -30 ^{° ஆகும் (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்).}

3. 50 மீட்டர் உயரமுள்ள கட்டிடத்தின் விளிம்பிலிருந்து ஒரு பந்து 10 மீ/வி ஆரம்ப வேகத்துடன் எறியப்படுகிறது. பந்து கிடைமட்டத்தைப் பொறுத்து 30° கோணத்தில் எறியப்பட்டால், பின்வருவனவற்றைக் கண்டறியவும்:

(அ) ​​பந்து தரையை அடையும் நேர இடைவெளி

(ஆ) பந்து தரையில் படும்போது அதன் வேகம்

(c) பந்து சென்றடையக்கூடிய கிடைமட்ட தூரமானது கட்டிடத்தின் விளிம்பிலிருந்து அளக்கப்படுகிறது.

(ஈ) பந்து அடைந்த அதிகபட்ச உயரம்

தீர்வு:

முதலில், ஆரம்ப வேகத்தின் (v _{o ) செங்குத்துக் கூறு (v oy} ) மற்றும் கிடைக்கூறு (v _ox ) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுகிறோம்.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 மீ/வி)(0.87) = 8.7 மீ/வி

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 மீ/வி)(0.5) = 5 மீ/வி

அ) பந்து தரையை அடையும் நேர இடைவெளி

இந்தத் தீர்வு, ஒரு செங்குத்தான மேல்நோக்கிய இயக்கத்தில் நேர இடைவெளியை (t) கண்டறிவதைப் போன்றது. மேல்நோக்கிய திசையைக் கொண்ட திசையனின் எண்மதிப்பு நேர்மறையாகவும், கீழ்நோக்கிய திசையைக் கொண்ட திசையனின் எண்மதிப்பு எதிர்மறையாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. பந்து எறியப்படும் இடம் ஒரு குறிப்புப் புள்ளியாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. தரை மேற்பரப்பு குறிப்புப் புள்ளிக்குக் கீழே இருப்பதால் h எதிர்மறையாகவும், புவியீர்ப்பு முடுக்கத்தின் திசை கீழ்நோக்கி இருப்பதால் g எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

அறியப்பட்டவை:

v _oy = 5 மீ/வி, h = – 5 மீ, g = – 9.8 மீ/வி ²

தேவை: டி

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

காற்றில் இருந்த நேரம் = பந்து எறியப்பட்டதிலிருந்து தரையை அடைய எடுத்த நேரம் = 1.64 வினாடிகள்.

b) பந்து தரையின் மேற்பரப்பைத் தாக்கும் போது அதன் வேகம்

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 மீ/வி

v _ty = ?

_{முதலில், செங்குத்து திசையில் இறுதி வேகத்தை (v ty} ) கணக்கிடுகிறோம் . இதற்கான தீர்வு, செங்குத்தான மேல்நோக்கிய இயக்கத்தில் இறுதி வேகத்தைக் கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டவை: v _oy = 5 மீ/வி, g = -9.8 மீ/வி² ^, t = 1.64 வினாடிகள்

தேவை: வி _டை

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 மீ/வி

எதிர்மறை குறியீடு, இறுதி திசைவேகத்தின் திசை கீழ்நோக்கியது என்பதைக் குறிக்கிறது.

தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் வேகம்:

தோட்டாவின் வேகத்தின் திசை = அது தரையில் மோதும்போது அதன் இயக்கத்தின் திசை:

தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் வேகம்:

vtx நேர்மறை x-அச்சின் திசையிலும் (வலதுபுறம்) மற்றும் vty எதிர்மறை y-அச்சின் திசையிலும் (கீழ்நோக்கி) இருப்பதால்,

தோட்டா தரையில் மோதும் போது அதன் திசையானது நேர்மறை x-அச்சைப் பொறுத்து -52° ஆகும் (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்).

c) பந்து சென்றடையக்கூடிய கிடைமட்டத் தூரமானது, கட்டிடத்தின் விளிம்பிலிருந்து அளக்கப்படுகிறது.

இந்தத் தீர்வு, சீரான நேர்கோட்டு இயக்கத்தில் பயணித்த தூரத்தை (d) கண்டறிவதைப் போன்றது.

அறியப்பட்டது: t = 1.64 வினாடிகள், v _x = 8.7 மீ/வி

தேவை: டி

d = vt = (8.7 மீ/வி)(1.64 வி) = 14.3 மீ

d) பந்து அடைந்த அதிகபட்ச உயரம்

அறியப்பட்டவை: v _oy = 5 மீ/வி, v _ty = 0 மீ/வி ( அதிகபட்ச உயரத்தில் திசைவேகத்தின் செங்குத்துக் கூறு = 0 மீ/வி), g = -9.8 மீ/ ^வி².

தேவை: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 மீ/வி = (5 மீ/வி) ² + 2(-9.8 மீ/வி ² )(h)

0 மீ/வி = 25 (மீ/வி) ² + (-19.6 மீ/வி ² )(மணி)

25 (மீ/வி) ² = -19.6 மீ/வி 2 (மணி)

h = 25 (மீ/வி) ² : -19.6 மீ/வி ² = 1.3 மீட்டர்

பந்து அடைந்த அதிகபட்ச உயரம் = கட்டிடத்தின் உச்சிக்கு மேலே 1.3 மீட்டர் = 1.3 மீ + 50 மீ = தரை மேற்பரப்பிலிருந்து 51.3 மீட்டர்.