Mwendo wa vuli huru

Makala kuhusu mwendo wa vuli huru

Katika maisha ya kila siku, mara nyingi tunaona vitu vinavyopitia mwendo wa kuanguka bila malipo, kwa mfano, mwendo wa matunda yanayoanguka kutoka kwenye mti, mwendo wa vitu vinavyoanguka au kuangushwa kutoka urefu fulani. Kwa nini vitu hupata mwendo wa kuanguka bila malipo? Ikiwa itazingatiwa kwa mtazamo mfupi, kitu hupata kuanguka bila malipo kana kwamba kina kasi maalum, au kwa maneno mengine kitu hakiongezeki. Ukweli kwamba hutokea, kila kitu kinachoanguka bila malipo hupata kasi ya mara kwa mara. Sababu hii husababisha mwendo wa kuanguka bila malipo, ikiwa ni pamoja na mfano wa mwendo usio sawa wa mstari. Jinsi ya kuthibitisha kwamba vitu vinavyopitia kuanguka bila malipo hupata kasi ya mara kwa mara au kasi yake inaongezeka?

Chomeka misumari miwili ardhini na dondosha jiwe kutoka urefu tofauti kwenye kila msumari. Utaona kwamba misumari inayopigwa mawe kwa kiwango cha juu imekwama ndani zaidi kuliko misumari mingine. Kadiri jiwe linavyokuwa juu kutoka kwenye uso wa ardhi, ndivyo kasi ya jiwe inavyoongezeka linapogonga ardhi ili liweze kusukuma msumari ndani zaidi.

Hapo awali, mwendo wa vitu vinavyoanguka chini ulikuwa somo la kuvutia sana katika falsafa ya asili. Aristotle, mwanafalsafa, aliwahi kusema kwamba kitu chenye uzito mkubwa huanguka haraka kuliko vitu vyepesi. Maoni ya Aristotle yaliathiri maoni ya watu walioishi kabla ya wakati wa Galileo, ambao walidhani kwamba vitu vyenye uzito mkubwa huanguka haraka kuliko vitu vyepesi na kwamba kasi ya vitu vinavyoanguka ilikuwa sawia na uzito wa kitu hicho. Labda kabla ya kujifunza somo hili, unafikiri hivyo pia. Kwa mfano, tunaangusha kipande cha karatasi na mwamba kutoka urefu sawa. Matokeo tuliyoyaona yalionyesha kwamba jiwe liligusa kwanza ardhi au uso wa sakafu kuliko karatasi. Sasa, hebu tuangushe mawe mawili kutoka urefu sawa, ambapo jiwe moja ni kubwa kuliko lingine. Mawe hayo mawili yaligusa uso wa ardhi kwa wakati mmoja, ikilinganishwa na jiwe na karatasi tulizoangusha hapo awali. Tunaweza pia kujaribu mawe na karatasi zinazodondosha katika mfumo wa uvimbe.

Ni nini kinachoathiri mwendo wa miamba au karatasi inayoanguka? Nguvu ya msuguano wa hewa! Upinzani au msuguano wa hewa huathiri sana mwendo wa kuanguka kwa uhuru. Galileo alidai kwamba vitu vyote vitaanguka kwa kasi sawa ikiwa hakuna hewa au vikwazo vingine. Galileo alidai kwamba vitu vyote, vizito au vyepesi, huanguka kwa kasi sawa, angalau ikiwa hakuna hewa. Galileo aliamini kwamba hewa hufanya kazi kama kikwazo kwa vitu vyepesi sana vyenye uso mkubwa. Lakini katika hali nyingi, upinzani huu wa hewa unaweza kupuuzwa. Katika chumba ambapo hewa imefyonzwa (utupu), vitu vyepesi kama vile kipande cha karatasi kilichoshikiliwa mlalo vitaanguka kwa kasi sawa na vitu vingine. Mchango wa Galileo katika uelewa wetu wa mwendo wa vitu vinavyoanguka unaweza kufupishwa kama ifuatavyo:

Katika eneo fulani duniani na bila upinzani wa hewa, vitu vyote huanguka kwa kasi sawa. Tunaita kasi hii inayosababishwa na uvutano na kuipa alama g. Ukubwa wa g ni takriban 9.8 m/s ² . Katika vitengo vya Mfumo wa Kiingereza, ukubwa wa g ni takriban futi 32/s ² . Mwelekeo wa kasi ya uvutano ni kuelekea katikati ya dunia.

Ufafanuzi wa mwendo wa kuanguka huru

Inasemekana kitu hupata kuanguka kwa uhuru ikiwa kitu hicho kitasogea pembeni kuelekea katikati ya dunia na wakati wa mwendo wake, kitu hicho hupata kasi ya mara kwa mara ya mvuto. Ikiwa kuanguka kwa uhuru karibu na uso wa dunia, basi kitu hicho hupata kasi ya mara kwa mara ya mvuto wa 9.8 m/s ²

na mwelekeo wa kuongeza kasi ya mvuto kuelekea katikati ya dunia (mstatili kwa uso wa dunia). Ili kurahisisha hesabu, g ni 10 m/s ².

Kuna hali tatu tofauti:

1. Vitu husogea chini wima bila kasi ya awali (hakuna vo _o ). Kwa mfano, tunda huanguka kutoka kwenye mti baada ya kutolewa kutoka kwenye shina. Mwelekeo wa mwendo huwa chini kila wakati na kitu hupata kasi ili g iwe chanya kila wakati. Katika baadhi ya vitabu vya fizikia huitwa mwendo wa kuanguka kwa uhuru.

2. Kitu husogea chini kwa wima kwa kasi ya awali (kuna vo _o ). Kwa mfano, jiwe linalorushwa chini kwa wima. Mwelekeo wa mwendo huwa chini kila wakati na kitu hupata kasi ili g iwe chanya kila wakati. Katika vitabu fulani vya fizikia, inaitwa mwendo wa kushuka chini kwa wima.

3. Kitu husogea juu kwa wima kwa kasi ya awali, baada ya kufikia urefu wa juu zaidi, kitu husogea chini. Tuseme unatupa marumaru wima juu na kuyakamata tena marumaru yanaposogea chini. Wakati wa kusogea juu, vitu hupata mteremko (hasi g), wakati wa kusogea chini kwa wima, kitu huharakisha (hasi g). Katika vitabu fulani vya fizikia, huitwa mwendo wa juu wima. Ikumbukwe kwamba ikiwa kitu kinapitia mojawapo ya masharti matatu hapo juu, kitu hicho kinasemekana kufanya mwendo wa kuanguka kwa uhuru.

Mlinganyo wa mwendo wa kuanguka huru

Mwendo wa kuanguka huru ni mfano wa mwendo wa mstari usio na umbo moja, kwa hivyo mlinganyo wa mwendo wa kuanguka huru kimsingi ni sawa na mlinganyo wa mwendo wa mstari usio na umbo moja na umerekebishwa kulingana na hali katika mwendo wa kuanguka huru.

h = urefu (mita), v _o = kasi ya awali (mita/sekunde), v _t = kasi ya mwisho (mita/sekunde), t = muda (sekunde), g = kasi ya uvutano (mita/sekunde) = 9.8 m/s ² au 10 m/s ².

Kuongeza kasi ya mvuto ni thabiti kwa 10 m/s ² (g chanya, kitu kinashuka chini) inamaanisha kuwa kasi ya kitu huongezeka kwa 10 m/s kila sekunde 1. Sekunde 2 baadaye, kasi ya kitu huongezeka kwa 20 m/s. Sekunde 3 baadaye, kasi ya kitu huongezeka kwa 30 m/s. Kupunguza kasi ya mvuto ni 10 m/s ² (g hasi, kitu kinapanda juu) inamaanisha kuwa kasi ya kitu hupungua kwa 10 m/s kila sekunde 1. Sekunde 2 baadaye, kasi ya kitu hupungua kwa 20 m/s. Sekunde 3 baadaye, kasi ya kitu hupungua kwa 30 m/s. Kuongeza kasi ya mara kwa mara au kupungua kasi hutokea tu karibu na uso wa dunia.

Mfano wa tatizo la 1:

Embe huachiliwa na kuanguka chini. Ikiwa nafasi ya awali iko mita 10 kutoka kwenye uso wa ardhi na uzito wa embe ni gramu 5, tambua:

(a) kasi ya embe linapofika ardhini

(b) muda wa embe kufika ardhini.

g = 9.8 m/s ²

Ufumbuzi:

Inayojulikana: h = 10 m, g = 9.8 m/s ²

a) Kasi ya manga inapofika ardhini

Uzito huhesabiwa katika mlinganyo wa mwendo wa kuanguka kwa uhuru

b) Muda wa muda hewani

Mfano wa tatizo la 2:

Kitu huangushwa kutoka urefu fulani. Amua:

(a) ukubwa wa kasi ya kitu

(b) umbali uliosafiriwa na kitu hicho kwa sekunde 2 za kwanza

(c) kasi ya kitu baada ya kuanguka mita 50

(d) muda gani unahitajika kwa kitu kufikia kasi ya 20 m/s,

(e) muda gani unahitajika kwa kitu kuanguka hadi mita 100

Ufumbuzi:

Inayojulikana: g = 9.8 m/s ²

a) Ukubwa wa kasi ya kitu

Kuongeza kasi kwa kitu = kuongeza kasi ya mvuto = g = 9.8 m/s ²

b) Umbali uliosafiriwa na kitu hicho kwa sekunde 2 za kwanza

Inayojulikana: g = 9.8 m/s ² , t = 2 s

Alitaka: h

h = 1⁄2 gt ² = 1⁄2 (9.8)(2) ² = (4.9)(4) = mita 19.6

c) Kasi ya kitu baada ya kuanguka hadi mita 50

Inayojulikana: h = 50 m, g = 9,8 m/s ²

Inayohitajika: v _t

d) Muda gani unahitajika kwa vitu kufikia kasi ya 20 m/s

Inayojulikana: v _t = 20 m/s, g = 9,8 m/s ²

Inataka: t

e) Muda unaohitajika kwa vitu kuanguka hadi mita 100

Inayohitajika: h = 100 m, g = 9,8 m/s ²

Suluhisho: t

Mfano wa tatizo la 3:

Jiwe hutupwa ndani ya kisima kwa kasi ya awali ya mita 5/s. Ikiwa jiwe litaanguka ndani ya maji baada ya sekunde 4, tambua:

(a) kasi ya jiwe linapoingia ndani ya maji

(b) kina cha kisima

Ufumbuzi:

a) Kasi ya jiwe linapoingia ndani ya maji

Inajulikana:

vo = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/ _s ²

Inayohitajika: v _t

v _t = vo _o + g t

v _t = 5 m/s + (9.8 m/s ² )(sekunde 4) = 5 m/s + 39.2 m/s

v _t = 44.2 m/s

b) Kina cha kisima

Inajulikana:

vo = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/ _s ²

Alitaka: h

h = vot ₊ ½ gt ²

h = (5)(4) + ½ (9.8)(4) ²

h = 20 + (4.9)(16)

h = 20 + 78.4

h = mita 98.4

Mfano wa tatizo la 4:

Kutoka juu ya jengo hadi urefu wa mita 50, kifurushi hutupwa chini kwa wima kwa kasi ya mita 10 kwa sekunde. Amua:

(a) Wakati hewani

(b) Kasi ya kifurushi kinapogonga ardhi

Ufumbuzi:

a) Wakati hewani

Inajulikana:

h = 50 m, g = 9.8 m/s ² , v _o = 10 m/s

Inataka: t

h = vot ₊ ½ gt ²

50 = tani 10 + nusu (9.8) tani ²

50 = tani 10 + tani 4.9 ²

4.9 t ² + 10 t – 50 = 0

Tumia fomula ya quadratic:

Muda hewani = sekunde 2.3

b) Kasi ya kifurushi kinapogonga ardhi

Inajulikana:

h = 50 m, g = 9.8 m/s ² , v _o = 10 m/s

Inayohitajika: v _t

Mfano wa tatizo la 5:

Mpira hutupwa juu kwa wima kwa kasi ya awali ya mita 20/s. Tambua urefu wa juu zaidi unaofikiwa na mpira.

Ufumbuzi:

Kiasi cha vekta ambacho mwelekeo wake uko juu ni chanya, kiasi cha vekta ambacho mwelekeo wake uko chini ni hasi. Nafasi ya awali ya mpira huchaguliwa kama sehemu ya marejeleo.

Inajulikana:

v _o = 20 m/s (mwelekeo wa kasi ya awali ni juu, mpira hutupwa juu, kwa hivyo v _o ni chanya)

v _t = 0 m/s (kasi ya mpira katika urefu wa juu zaidi ni 0 m/s)

g = – 9.8 m/s ² (mwelekeo wa kasi ya mvuto ni chini, kwa hivyo g ni hasi)

Alitaka: h

Mfano wa tatizo la 6:

Marumaru hutupwa juu kutoka juu ya jengo mita 100 juu ya ardhi kwa kasi ya awali ya mita 20 kwa sekunde. Amua:

(a) Muda hewani

(b) kasi ya marumaru inapogonga ardhi

Ufumbuzi:

Nafasi ambapo marumaru hutupwa kama sehemu ya marejeleo; sehemu ya juu ya jengo ni sehemu ya marejeleo. Ukubwa wa vekta ambayo mwelekeo wake uko juu ni chanya, ukubwa wa vekta ambayo mwelekeo wake uko chini ni hasi.

a) Muda hewani

Inajulikana:

h = – 100 m (h ni hasi kwa sababu uso wa ardhi uko chini ya nafasi ya awali au sehemu ya marejeleo)

v _o = 20 m/s (mwelekeo wa kasi ya awali ni juu, kwa hivyo v _o ni chanya)

g = – 9.8 m/s ² (mwelekeo wa kasi ya mvuto ni chini, kwa hivyo g ni hasi)

Inataka: t

Tumia fomula ya quadratic:

Muda uliohitajika kufika ardhini tangu

mpira unarushwa = sekunde 7.

b) Kasi ya marumaru inapogonga uso wa ardhi

Inajulikana:

h = -100 m (hasi kwa sababu uso wa ardhi uko chini ya sehemu ya marejeleo au nafasi ya awali)

v _o = 20 m/s (mwelekeo wa kasi ya awali ni juu, kwa hivyo v _o ni chanya)

g = -9.8 m/s ² (mwelekeo wa kasi ya mvuto ni chini, kwa hivyo g ni hasi).

Inayohitajika: v _t

Maswali na majibu ya dhana kuhusu mwendo wa vuli huru

1. Mwendo wa kuanguka huru ni nini?

   Mwendo wa kuanguka huru ni mwendo wa kitu chini ya ushawishi wa uvutano pekee, bila nguvu nyingine zinazokiathiri, kama vile upinzani wa hewa.

2. Je, kasi ya mvuto ni nini?

   Kuongeza kasi kutokana na uvutano ni kasi ambayo kitu hupata kinapoanguka kwa uhuru karibu na uso wa Dunia. Kwa kawaida huonyeshwa kama 'g' na ina thamani ya takriban 9.8 m/s².

3. Fomula ya kuhama katika mwendo wa kuanguka huru ni ipi, kutokana na kasi na muda wa awali?

   Fomula ni h = ut + ½gt², ambapo h ni uhamishaji (urefu), u ni kasi ya awali, g ni kuongeza kasi kutokana na mvuto, na t ni wakati.

4. Kasi ya kitu hubadilikaje wakati wa mwendo wa kuanguka huru?

   Wakati wa kuanguka kwa uhuru, kasi ya kitu huongezeka kwa mstari baada ya muda kutokana na kasi ya mara kwa mara ya mvuto.

5. Fomula ya kasi ya mwisho katika mwendo wa kuanguka huru ni ipi, kutokana na kasi na muda wa awali?

   Fomula ni v = u + gt, ambapo v ni kasi ya mwisho, u ni kasi ya awali, na g ni kuongeza kasi kutokana na uvutano.

6. Nini hutokea kwa kasi ya kitu katika kilele cha mwelekeo wake katika mwendo wa kuanguka huru?

   Katika kilele cha mwelekeo wake, kasi ya kitu inakuwa sifuri kwa muda.

7. Ishara hasi inawakilisha nini katika muktadha wa mwendo huru wa kuanguka?

   Ishara hasi kwa kawaida huashiria mwelekeo kinyume na mwelekeo chanya uliochaguliwa. Kulingana na muktadha, inaweza kuashiria kuanguka chini (ikiwa juu ni chanya) au kutupwa chini (ikiwa juu ni hasi).

8. Nini hutokea kwa kasi ya kitu katika kuanguka huru kinapofikia urefu wake wa juu zaidi?

   Mwendo kasi wa kitu katika urefu wake wa juu zaidi katika kuanguka huru unabaki sawa na g (takriban -9.8 m/s² karibu na uso wa Dunia), ukielekea chini.

9. Upinzani wa hewa huathirije mwendo wa kuanguka kwa uhuru?

   Kwa kweli, upinzani wa hewa unaweza kupunguza kasi ya kushuka kwa kitu, na kufanya mwendo usiwe tena wa kuanguka huru. Hata hivyo, katika matatizo mengi ya fizikia, upinzani wa hewa hupuuzwa kwa urahisi.

10. Ni muda gani wa kuruka katika mwendo wa vuli huru?

Muda wa kuruka ni jumla ya muda ambao kitu hutumia angani. Kwa kitu kilichozinduliwa na kutua kwa urefu sawa, muda wa kuruka unaweza kupatikana kwa kutumia fomula t = 2u/g.

Matatizo na suluhisho kuhusu mwendo wa vuli huru

1. Tatizo: Mwamba unadondoshwa kutoka kwenye mwamba wenye urefu wa mita 78.4. Inachukua muda gani kwa mwamba kufika ardhini? Ufumbuzi: Tunatumia mlinganyo h = ½gt². Kutatua kwa muda, t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s.
2. Tatizo: Mpira hutupwa juu kwa kasi ya awali ya 19.6 m/s. Mpira unaenda juu kiasi gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia mlinganyo h = v₀t – ½gt² katika urefu wa juu zaidi (ambapo kasi ya mwisho ni 0), urefu h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 m.
3. Tatizo: Jiwe hutupwa juu kwa kasi ya awali ya mita 10 kwa sekunde. Kasi yake itakuwaje baada ya sekunde 2? Ufumbuzi: Mlinganyo v = v₀ – gt hutoa kasi v = 10 – 9.8×2 = -9.6 m/s.
4. Tatizo: Sarafu inadondoshwa kisimani na kugonga maji baada ya sekunde 3. Kisima kina kina gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², kina h = ½x9.8×3² = 44.1 m.
5. Tatizo: Kitabu kinaanguka kutoka mezani na kugonga chini baada ya sekunde 0.5. Je, meza ilikuwa na urefu gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², urefu h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 m.
6. Tatizo: Mpira hutupwa juu kwa kasi ya awali ya mita 20 kwa sekunde. Utafikia lini urefu wake wa juu zaidi? Ufumbuzi: Katika urefu wa juu zaidi, v = 0. Kutatua t = (v – v₀) / -g, wakati t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 s.
7. Tatizo: Kitu huanguka kwa sekunde 6. Kasi yake ya mwisho ni ipi? Ufumbuzi: Kwa kutumia v = v₀ + gt na kasi ya awali v₀ = 0, kasi ya mwisho v = 0 + 9.8×6 = 58.8 m/s.
8. Tatizo: Tufaha linaanguka kutoka kwenye mti na huchukua sekunde 1.5 kugonga ardhi. Urefu wa mti ulikuwaje? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², urefu h = ½x9.8x(1.5)² = 11 m.
9. Tatizo: Mpira wa soka hupigwa teke juu kwa kasi ya awali ya mita 25 kwa sekunde. Muda gani hadi ugonge ardhini? Ufumbuzi: Muda wa kufikia urefu wa juu zaidi t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 s. Jumla ya muda wa kupiga chini ni mara mbili ya hii, kwa hivyo t = 2×2.55 = 5.1 s.
10. Tatizo: Jiwe linaangushwa kutoka kwenye daraja na kugonga maji baada ya sekunde 4. Daraja hilo lina urefu gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², urefu h = ½x9.8×4² = 78.4 m.
11. Tatizo: Roketi hurushwa moja kwa moja juu kwa kasi ya mita 50 kwa sekunde. Inapanda juu kiasi gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = v₀² / (2g), urefu h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 m.
12. Tatizo: Mpira hutupwa chini kwa kasi ya awali ya mita 10 kwa sekunde. Kasi yake ni ipi baada ya sekunde 2? Ufumbuzi: Kwa kutumia v = v₀ + gt, kasi v = 10 + 9.8×2 = 29.6 m/s.
13. Tatizo: Mpira hutupwa juu wima na kurudi ardhini baada ya sekunde 6. Kasi yake ya awali ilikuwaje? Ufumbuzi: Kwa kutumia v₀ = gt / 2 (kwa kuwa jumla ya muda ni mara mbili ya muda wa kufikia urefu wa juu), kasi ya awali v₀ = 9.8×6 / 2 = 29.4 m/s.
14. Tatizo: Kitu huanguka kwa sekunde 10. Huanguka umbali gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², umbali h = ½x9.8×10² = 490 m.
15. Tatizo: Marumaru inadondoshwa kutoka kwenye mnara na inachukua sekunde 5 kugonga ardhi. Mnara huo una urefu gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², urefu h = ½x9.8×5² = 122.5 m.
16. Tatizo: Besiboli hutupwa juu kwa wima kwa kasi ya awali ya mita 15/s. Itafikia lini urefu wake wa juu zaidi? Ufumbuzi: Katika urefu wa juu zaidi, v = 0. Kutatua t = (v – v₀) / -g, wakati t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 s.
17. Tatizo: Kitu huangushwa na kuanguka kwa sekunde 7. Kasi yake ya mwisho ni ipi? Ufumbuzi: Kwa kutumia v = v₀ + gt na kasi ya awali v₀ = 0, kasi ya mwisho v = 0 + 9.8×7 = 68.6 m/s.
18. Tatizo: Mwamba hutupwa juu kwa kasi ya awali ya mita 30 kwa sekunde. Kasi yake itakuwaje baada ya sekunde 3? Ufumbuzi: Kwa kutumia v = v₀ – gt, kasi v = 30 – 9.8×3 = 0.6 m/s.
19. Tatizo: Jiwe linadondoshwa kutoka kwenye mwamba na kugonga ardhi baada ya sekunde 8. Je, mwamba huo una urefu gani? Ufumbuzi: Kwa kutumia h = ½gt², urefu h = ½x9.8×8² = 313.6 m.

20. Tatizo: Mshale hupigwa moja kwa moja juu kwa kasi ya mita 60/s. Muda gani hadi ugonge ardhini? Suluhisho: Muda wa kufikia urefu wa juu t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 s. Jumla ya muda wa kugonga ardhini ni mara mbili ya hii, kwa hivyo t = 2×6.12 = 12.24 s.