Kasi ya angular

Kasi ya angular

Kiasi cha mwendo wa mzunguko, ambacho ni sawa na uzito (m) katika mwendo wa mstari, ni wakati wa hali ya kutofanya kazi (I). Kiasi cha mwendo wa mzunguko, ambacho ni sawa na kasi (v) katika mwendo wa mstari, ni kasi ya pembe (ω). Kwa hivyo, kitu kinachozunguka kina kasi ya pembe ambayo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia mlinganyo:

L = Mimi ω

L = kasi ya pembe (kg m ² /s), I = wakati wa hali ya kutokuwa na shughuli (kg m ² ), ω = kasi ya pembe (rad/s)

Mifano ya matatizo ya kasi ya angular

Tatizo la mfano 1.

Chembe yenye uzito wa gramu 0.5 husogea kwenye duara yenye kasi ya pembe isiyobadilika ya rad/s 2. Amua kasi ya pembe ya chembe ikiwa radius ya njia ya chembe ni 10 cm.

Ufumbuzi:

Wakati wa hali ya kutokuwa na nguvu ya chembe:

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ²

Kasi ya pembe ya chembe:

ω = 2 rad / s

Kasi ya pembe ya chembe:

L = (0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ² )(2 rad/s) = 1 x 10 ^-5 kg ​​​​m ² /s

Sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular

Sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular inasema kwamba ikiwa wakati unaotokana wa nguvu kwenye mwili mgumu wakati wa kuzungusha ni sifuri, basi kasi ya angular ya mwili mgumu wakati wa kuzungusha huwa thabiti kila wakati. Sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular inaweza kupatikana kihisabati kwa kurekebisha mlinganyo wa sheria ya pili ya Newton ya kasi ya angular. Hapa kuna mlinganyo wa sheria ya pili ya Newton kuhusu kasi ya angular:

Ikiwa wakati wa nguvu unaotokana ni sifuri, basi mlinganyo hapo juu hubadilika kuwa:

I _t = wakati wa mwisho wa hali ya hewa, I _o = wakati wa awali wa hali ya hewa, ω _t = kasi ya mwisho ya angular, ω _o = kasi ya awali ya angular, L _t = kasi ya mwisho ya angular, L _o = kasi ya awali ya angular.

Mifano ya matatizo ya sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular

Tatizo la mfano 1.

Diski ya silinda imara yenye umbo moja huzunguka kwenye mhimili wake kwa kasi ya rad 4/s. Uzito na kipenyo cha diski ni kilo 1 na mita 0.5. Ikiwa juu ya bamba imewekwa pete yenye uzito na kipenyo cha kilo 0.2 na mita 0.1 na katikati ya pete,

juu kidogo ya katikati ya diski, kisha diski na pete vitazunguka pamoja na kasi ya pembe ya…..

Ufumbuzi:

Wakati wa kutokuwa na nguvu kwa silinda ngumu: I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (kilo 1)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m ²

Wakati wa kutokuwa na nguvu kwa pete: I = mr ² = (0.2 kg)(0.1 m) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m ²

Kasi ya awali ya pembe (L ₁ ) = Kasi ya mwisho ya pembe (L ₂ )

Mimi ₁ ω ₁ = Mimi ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

Maswali na majibu ya dhana

1. Kasi ya pembe ni nini?
   Jibu: Kasi ya pembe ni kipimo cha kiasi cha mzunguko ambacho kitu kina, kwa kuzingatia uzito na umbo lake. Ni analogi ya mzunguko wa kasi ya mstari.
2. Kasi ya pembe huamuliwaje kihisabati?
   Jibu: Kasi ya pembe (L) hufafanuliwa kama $L=r\times p$, Ambapo $r$ ni vekta ya nafasi kutoka mhimili wa mzunguko hadi sehemu ya matumizi, na $p$ ni kasi ya mstari.
3. Je, kasi ya angular ni kiasi cha scalar au vector?
   Jibu: Kasi ya pembe ni kiasi cha vekta.
4. Kitengo cha kasi ya angular katika mfumo wa SI ni nini?
   Jibu: Kitengo cha kasi ya angular katika mfumo wa SI ni kilo-mita mraba kwa sekunde (kg·m²/s).
5. Kasi ya pembe huhifadhiwaje?
   Jibu: Katika mfumo uliofungwa bila torque za nje, kasi ya jumla ya pembe hubaki bila kubadilika.
6. Kanuni ya uhifadhi wa kasi ya angular ni ipi?
   Jibu: Kanuni inasema kwamba kasi ya jumla ya pembe ya mfumo uliofungwa inabaki thabiti isipokuwa ikiathiriwa na torque ya nje.
7. Mzunguko wa skater unahusianaje na kasi ya angular?
   Jibu: Mtelezi wa theluji anapovuta mikono na miguu yake karibu na mwili wake wakati wa kuzunguka, hupunguza muda wake wa kusimama, na kuwafanya wazunguke haraka zaidi. Hii inaonyesha uhifadhi wa kasi ya pembe.
8. Kuna uhusiano gani kati ya torque na kasi ya angular?
   Jibu: Torque ($\tau$) ni kiwango cha mabadiliko ya kasi ya pembe. Kihisabati, τ=dL/sekunde​.
9. Je, inawezekana kwa kitu kuwa na kasi ya angular bila kasi ya angular?
   Jibu: Hapana, ikiwa kitu kina kasi ya pembe, kina kasi ya pembe. Ukuu na mwelekeo wa kasi ya pembe hutegemea wakati wa hali ya kutofanya kazi na kasi ya pembe.
10. Je, wakati wa hali ya kutokuwa na utulivu unaathirije kasi ya angular?
    Jibu: Kasi ya pembe (L) ni matokeo ya wakati wa hali ya kutokuwa na mwendo (I) na kasi ya pembe (ω). Marekani $L=I\omega$, ongezeko la wakati wa hali ya kutofanya kazi kwa kasi fulani ya pembe litaongeza kasi ya pembe.
11. Kuna tofauti gani kati ya kasi ya mzunguko na kasi ya pembe ya obiti katika mechanics ya quantum?
    Jibu: Kasi ya pembe ya mzunguko ni sifa ya ndani ya chembe, kama elektroni, na haitoki kutokana na mwendo angani. Kasi ya pembe ya obiti, kwa upande mwingine, hutoka kutokana na mwendo wa chembe kuzunguka sehemu kuu.
12. Kasi ya angular inachukua jukumu gani katika uundaji wa mifumo ya sayari?
    Jibu: Wingu la molekuli linapoanguka na kuunda nyota na sayari, uhifadhi wa kasi ya pembe husababisha nyenzo hiyo kutandaa na kuwa diski inayozunguka nyota mpya, ambayo sayari zinaweza kuunda.
13. Gyroskopu hudumishaje mwelekeo wake angani?
    Jibu: Gyroskopu inayozunguka ina kasi ya pembe. Wakati torque ya nje inapojaribu kubadilisha mwelekeo wake, gyroskopu husonga mbele, au hubadilisha mhimili wake wa mzunguko, katika mwelekeo ulio sawa na torque inayotumika kutokana na uhifadhi wa kasi ya pembe.
14. Ni nini husababisha msongamano wa juu kwenye sehemu ya juu inayozunguka?
    Jibu: Msukumo katika sehemu ya juu inayozunguka husababishwa na torque kutokana na uvutano unaofanya kazi kwenye kituo cha uzito cha sehemu ya juu, ambacho hutenganishwa na sehemu yake ya kuzunguka. Torque hii husababisha mabadiliko katika mwelekeo wa kasi ya pembe ya sehemu ya juu, na kusababisha iendelee.
15. Kwa nini nyota huinama kwenye ncha zao?
    Jibu: Nyota zinapozunguka, hupata nguvu ya sentrifugal inayosukuma vitu nje. Athari hii ni kali zaidi kwenye ikweta kuliko kwenye ncha, na kusababisha umbo la mviringo, au tambarare.
16. Kasi ya pembe inahusiana vipi na sheria ya pili ya Kepler?
    Jibu: Sheria ya pili ya Kepler inasema kwamba sehemu ya mstari inayounganisha sayari na Jua hufagia maeneo sawa kwa vipindi sawa vya wakati. Hii ni matokeo ya uhifadhi wa kasi ya pembe.
17. Kwa nini paka huanguka kwa miguu yake kila wakati?
    Jibu: Paka hutumia uhifadhi wa kasi ya pembe. Kwa kupotosha miili yao na kubadilisha nyakati zao za kutokuwa na shughuli nyingi hewani, wanaweza kujielekeza upya kutua kwa miguu yao bila kukiuka sheria za uhifadhi.
18. Je, wakati wa sumaku unahusianaje na kasi ya angular katika elektroni?
    Jibu: Wakati wa sumaku wa elektroni hutokana na mzunguko wake na kasi ya pembe ya obiti. Wakati wa sumaku ni sawia na kasi ya pembe ya elektroni.
19. Kasi ya pembe ni nini katika suala la kuratibu za polar?
    Jibu: Katika viwianishi vya polar, kasi ya angular $L$ kwa uzito wa nukta unaweza kuonyeshwa kama $L=mrv$, Ambapo $m$ ni wingi, $r$ ni umbali wa radial, na $v$ ni kasi ya tangential.
20. Nini hutokea kwa kasi ya pembe ya mfumo uliofungwa wakati vitu viwili vinapogongana?
    Jibu: Katika mfumo uliofungwa ambapo vitu viwili hugongana, kasi ya jumla ya pembe kabla ya mgongano ni sawa na kasi ya jumla ya pembe baada ya mgongano, ikizingatiwa kuwa hakuna torque za nje zinazofanya kazi kwenye mfumo.

Shida na Suluhisho

1. Tatizo: Uzito wa nukta m = kilo 2 husogea kwa kasi v = 3 m/s katika duara la radius r = 4 m. Kokotoa kasi yake ya pembe katikati ya duara.

Suluhisho: $L=m\times r\times v$ = 2×4×3=24 kg.m ² /s

2. Tatizo: Tufe imara lenye uzito wa kilo 3 na radius ya mita 0.5 linazunguka kipenyo chake kwa kasi ya pembe ω = rad 2/s. Kasi yake ya pembe ni ipi?

Suluhisho: Kwa tufe imara, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² / s

3. Tatizo: Uzito wa nukta ya kilo 3 unasonga kwa kasi ya mita 4/s katika mstari ulionyooka. Je, kasi yake ya pembe ni ipi kuhusu nukta mita 5 kutoka kwenye mstari wake wa mwendo?

Ufumbuzi:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m ² /s

4. Tatizo: Diski yenye uzito wa kilo 5 na radius ya mita 3 inazunguka kwa kasi ya pembe ya rad/s 2. Hesabu kasi yake ya pembe.

Suluhisho: Kwa diski, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² / s

5. Tatizo: Fimbo yenye urefu wa mita 4 na uzito wa kilo 2 huzunguka karibu na ncha moja kwa kasi ya pembe ya rad/s 3. Tafuta kasi yake ya pembe.

Suluhisho: Kwa fimbo takriban ncha moja, I = 1/3 ​ml l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² / s

6. Tatizo: Je, ni mabadiliko gani katika kasi ya pembe ikiwa mwili unaozunguka huongeza kasi yake ya pembe maradufu?

Suluhisho: Uhusiano kati ya kasi ya angular (L) na kasi ya angular (ω) ni $L=I\times \omega$ . Ikiwa ω imeongezeka maradufu, kasi ya angular pia itaongezeka maradufu.

7. Tatizo: Ikiwa kipenyo cha njia ya mviringo ya chembe inayosonga huongezeka maradufu huku kikidumisha kasi sawa, kasi ya pembe hubadilika kwa sababu gani?

Suluhisho: Kasi ya pembe, $L=m\times r\times v$ . Ikiwa r itaongezeka maradufu, L pia itaongezeka maradufu.

8. Tatizo: Mtoto mwenye uzito wa kilo 30 amesimama pembeni mwa merry-go-round ambayo imepumzika. Kipenyo cha merry-go-round ni mita 2. Ikiwa mtoto ataanza kukimbia kwa kasi ya mita 2/s kuhusiana na ardhi pembeni, tafuta kasi ya pembe ya mtoto kuhusiana na katikati.

Suluhisho: $L=m\times r\times v$ = 30×2×2=120 kg.m ² /s

9. Tatizo: Silinda yenye uzito wa kilo 6 na radius ya mita 2 inazunguka kuzunguka mhimili wake wa kati kwa kasi ya pembe ya rad/s 5. Kokotoa kasi yake ya pembe.

Suluhisho: Kwa silinda, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 kg.m ² /s

10. Tatizo: Je, kasi mpya ya pembe ya mwili itakuwa nini ikiwa wakati wake wa kutokuwa na nguvu utapunguzwa nusu na kasi yake ya pembe itaongezeka mara tatu?

Suluhisho: Kwa kuzingatia $L=I\times \omega$ , ikiwa $nitapunguzwa$ nusu na $\omega$ itaongezeka mara tatu, $L$ mpya itakuwa 1/2×3=1.5 × ya awali.

11. Tatizo: Kizunguko chenye uzito wa kilo 2 na kipenyo cha mita 1 kinazunguka kwa kasi ya pembe ya rad 4/s. Kokotoa kasi yake ya pembe.

Suluhisho: Kwa kitanzi, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m ² /s

12. Tatizo: Feni ina vile vya urefu wa mita 0.5 na uzito wa jumla wa kilo 1. Ikiwa inazunguka kwa kasi ya pembe ya rad 10/s, tambua kasi yake ya pembe.

Suluhisho: Tukichukulia vile vya feni kama vijiti vinavyozunguka pande moja, I = 1/3 ​ml l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 kg.m ² /s

13. Tatizo: Kokotoa kasi ya pembe ya dunia kuzunguka mhimili wake kutokana na mzunguko wake. Kwa kuzingatia: Uzito wa dunia =5.972×10 ²⁴ kg , Kipenyo $r=6371\text{km}$ , ω = 7.27 × 1 0 ⁻⁵ rad/s.

Suluhisho: Kwa kudhani dunia ni tufe imara, I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Tatizo: Mtoto anasogea kuelekea katikati ya jukwaa linalozunguka. Je, kasi ya pembe huongezeka, hupungua au hubaki vile vile?

Suluhisho: Kasi ya pembe huhifadhiwa. Mtoto anaposogea kuelekea katikati, wakati wa hali ya kutofanya kazi hupungua. Ili kuhifadhi kasi ya pembe, kasi ya pembe huongezeka. Hivyo, kasi ya pembe hubaki vile vile.

15. Tatizo: Ikiwa nishati ya kinetiki ya mwili unaozunguka imeongezeka maradufu, kasi yake ya angular hubadilika kwa sababu gani?

Suluhisho: Nishati ya kinetiki K = 1/2 ​I ω ² na Kasi ya Angular $L=I\omega$ . Ikiwa nishati ya kinetiki imeongezeka maradufu na $mimi$ inabaki bila kubadilika, ω ² imeongezeka maradufu. Hii ina maana kwamba $\omega$ imeongezeka kwa kipengele cha √ 2 ​.$Hivyo,\; L$ pia huongezeka kwa kipengele cha √ 2 ​.

16. Tatizo: Gurudumu la baiskeli lenye kipenyo cha mita 0.3 lina ukingo wa uzito wa kilo 1.5. Ikiwa linazunguka kwa kasi ya pembe ya rad 5/s, tafuta kasi yake ya pembe.

Suluhisho: Kwa kuchukulia ukingo kama kitanzi, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m ² /s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Tatizo: Mtelezi wa barafu anavuta mikono yake ndani huku akizunguka. Nini kinatokea kwa kasi yake ya pembe?

Suluhisho: Kasi ya pembe ya mpigaji skate huhifadhiwa. Kwa kuvuta mikono yake ndani, hupunguza wakati wake wa kutokuwa na nguvu, na hivyo huzunguka kwa kasi zaidi (kasi ya pembe iliyoongezeka) ili kuhifadhi kasi yake ya pembe.

18. Tatizo: Gurudumu la kuruka lina wakati wa inertia wa 0.2 kg.m ² kg.m ² na linazunguka kwa kasi ya pembe ya 10 rad/s. Tafuta kasi yake ya pembe.

Ufumbuzi:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m ² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m ² / s

19. Tatizo: Mfumo una torque halisi ya nje ya sifuri inayofanya kazi juu yake. Unaweza kusema nini kuhusu kasi yake ya pembe?

Suluhisho: Ikiwa torque halisi ya nje ni sifuri, basi kulingana na uhifadhi wa kasi ya angular, kasi ya jumla ya angular ya mfumo inabaki kuwa sawa.

20. Tatizo: Uzito wa nukta m = kilo 5 husogea kwa kasi v = 3 m/s inayoiunganisha na nukta P. Ikiwa umbali kutoka nukta P ni mita 4, tafuta kasi yake ya pembe kuhusu nukta P.

Ufumbuzi:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s