Tröghetsmoment

1. Partikelns tröghetsmoment

Granska en roterande partikel. Partikeln med massan m ges kraften F så att partikeln roterar kring axeln O. Partikeln är r skild från rotationsaxeln. Först är partikeln i vila (v = 0). Efter att ha rört sig med kraften F rör sig partiklarna med en viss hastighet så att partiklarna har tangentiell acceleration. Sambandet mellan kraft (F), massa (m) och partiklarnas tangentiella acceleration uttrycks av ekvation 3:

F = ma _tan (ekvation 3)

Partiklarna roterar så att de har vinkelacceleration. Sambandet mellan tangentiell acceleration och vinkelacceleration uttrycks av ekvation 4:

a _tan = rα (ekvation 4)

Ersätt a i ekvation 3 med a i ekvation 4:

F = mr α

r F = ^mr² α

τ = (mr² ⁾ α (ekvation 5)

r F är kraftmomentet och mr ² är partikelns tröghetsmoment. Ekvation 5 anger förhållandet mellan kraftmomentet, tröghetsmomentet och vinkelaccelerationen för roterande partiklar. Ekvation 5 är ekvationen för Newtons andra lag för roterande partiklar.

En partikels tröghetsmoment är produkten av partikelns massa (m) och kvadraten av avståndet mellan partiklarna och rotationsaxeln ( ^r² ).

I = mr² ⁽ ekvation 6)

I = partikelns tröghetsmoment, m = partikelns massa, r = avståndet mellan partikeln och rotationsaxeln. Ekvation 6 används för att bestämma en partikels tröghetsmoment.

3.2 Exempelproblem med partikelns tröghetsmoment

Exempelproblem 1.

En partikel med en massa på 2 kg bands fast vid ett 0.5 meter långt rep och roterades sedan. Vad är partiklarnas tröghetsmoment när de roterar?

Lösning:

Jag = Herr ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

Jag = 0.5 kg ^m²

Exempelproblem 2.

Två partiklar, vardera med en massa på 2 kg och 4 kg, är sammankopplade med en lätt tråd, där trådlängden är 2 meter. Ignorera trådarnas massa. Bestäm tröghetsmomentet för de två partiklarna, om:

a) Rotationsaxeln är belägen mellan de två partiklarna

Lösning:

^I = _{m₁ /} r₁² + _{m₂ /} r₂²^​

Jag = (2)(12) + (4)(12)

Jag = 2 + 4

Jag = 6 kg ^m²

b) Rotationsaxeln är på ett avstånd av 0.5 meter från partikeln med massan 2 kg

^I = _{m₁ /} r₁² + _{m₂ /} r₂²^​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

Jag = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Jag = 0.5 + 9

Jag = 9.5 kg ^m²

c) Rotationsaxeln är på ett avstånd av 0.5 meter från partikeln med massan 4 kg

^I = _{m₁ /} r₁² + _{m₂ /} r₂²^​

I = (2)(1.52) + (4)( ^0,52 )

Jag = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Jag = 4.5 + 1

Jag = 5.5 kg ^m²

Baserat på resultaten av beräkningarna ovan påverkas tröghetsmomentet starkt av rotationsaxelns placering. Även om formen och storleken är desamma eftersom rotationsaxelns placering är olika, är även tröghetsmomentet olika.

Partiklar nära rotationsaxeln har ett mindre tröghetsmoment, medan partiklar som är långt från rotationsaxeln har ett större tröghetsmoment. Om vi ​​antar att de två partiklarna ovan är stela objekt, så är varje partikel nära rotationsaxeln.

har ett mindre tröghetsmoment än tröghetsmomentet för partikeln längre bort från rotationsaxeln.

3.3 Tröghetsmoment för en homogen stel kropp

Stela föremål består av många partiklar. Tröghetsmomentet för en stel kropp är det totala antalet tröghetsmoment för varje partikel som bygger föremålet.

I = Σ ^mr²

Jag = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

För att bestämma tröghetsmomentet för ett stelt objekt måste vi granska objektet när det roterar eftersom rotationsaxelns läge påverkar objektets tröghetsmoment. Tröghetsmomentet (I) för varje partikel beror också på partikelns massa (m) och kvadraten på partikelns avstånd (r² ⁾ från rotationsaxeln. Massan av alla partiklar som bygger upp objektet är objektets massa.

Problemet är att avståndet mellan varje partikel och rotationsaxeln varierar.

Granska minskningen i formeln för tröghetsmomentet för en tunn ring med fingrarna R och massan M.

Om rotationsaxeln är belägen i ringens centrum, är alla partiklar i den tunna ringen belägna från rotationsaxeln. Tröghetsmomentet för en tunn ring är lika med tröghetsmomentet för alla partiklar:

Jag = Σ mr²

Jag = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Massan av alla partiklar = massan av den tunna ringen (M)

I = M (r1 _/ ² + r2 _/ ^{2 +} r3 _/ ² + ….. + _rn2 )

Varje partikel i den tunna ringen är r från rotationsaxeln så att _r1 = r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Tröghetsekvationen för den tunna ringen:

Jag = ^MR2

I = tröghetsmomentet för den tunna ringen, M = massan för den tunna ringen, R = radien för den tunna ringen.

Vad händer om rotationsaxeln inte är placerad i ringens centrum? Om rotationsaxeln inte är placerad i ringens centrum kan tröghetsmomentformeln för den tunna ringen inte härledas med hjälp av ovanstående metod,

eftersom avståndet för varje partikel från rotationsaxeln är olika. Att härleda formeln för tröghetsmomentet för ett problem som detta diskuteras inte i detta ämne.

Formeln för tröghetsmomentet för vissa stela föremål

3.4 Exempelproblem med tröghetsmomentet för en homogen stel kropp

Exempelproblem 1:

Stångcylindern AB har en massa på 3 kg när den roteras genom B,

Tröghetsmomentet är 27 kg m² ^. Vad är tröghetsmomentet om

roterad genom C?

Lösning:

Lösning:

Formeln för tröghetsmomentet för den homogena solida stången (rotationsaxeln är i stångens centrum):

I = 1/12 ^ml²

27 = (1/12) ^ML2

(27)(12) = ^ML2

324 = ^ML2

Formeln för tröghetsmomentet för en homogen solid stång (rotationsaxeln på stångens kant):

I = 1/3 ^ml²

Jag = 1/3 (324)

Jag = 108 kg ^m²