Vinkelmoment

Vinkelmoment

Storleken på rotationsrörelsen, som är identisk med massan (m) i den linjära rörelsen, är tröghetsmomentet ( I). Storleken på rotationsrörelsen, som är identisk med hastigheten (v) i den linjära rörelsen, är vinkelhastigheten (ω). Således har det roterande objektet ett rörelsemängdsmoment som kan beräknas med hjälp av ekvationen:

L = I ω

L = rörelsemängdsmoment (kg m² ^/ s), I = tröghetsmoment (kg m² ⁾ , ω = vinkelhastighet (rad/s)

Exempelproblem med vinkelmomentet

Exempelproblem 1.

En partikel med massan 0.5 gram rör sig i en cirkel med en konstant vinkelhastighet på 2 rad/s. Bestäm partikelns rörelsemängdsmoment om partikelns banradie är 10 cm.

Lösning:

Partikelns tröghetsmoment:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻¹ kg ^m²

Partikelns vinkelhastighet:

ω = 2 rad/s

Partikelns vinkelmoment:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

Lagen om bevarande av vinkelmoment

Lagen om bevarande av rörelsemängdsmomentet säger att om det resulterande kraftmomentet på en stel kropp när den roterar är noll, så är den stela kroppens rörelsemängdsmoment alltid konstant när den roterar. Lagen om bevarande av rörelsemängdsmomentet kan härledas matematiskt genom att modifiera ekvationen för Newtons andra lag om rörelsemängdsmomentet. Här är ekvationen för Newtons andra lag om rörelsemängdsmomentet:

Om det resulterande kraftmomentet är noll, ändras ekvationen ovan till:

I _t = slutligt tröghetsmoment, I _o = initialt tröghetsmoment, ω _t = slutlig vinkelhastighet, ω _o = initial vinkelhastighet, L _t = slutligt vinkelmoment, L _o = initialt vinkelmoment.

Exempelproblem med lagen om bevarande av vinkelmoment

Exempelproblem 1.

En homogen solid cylinderskiva roterar initialt kring sin axel med en hastighet av 4 rad/s. Skivans massa och radie är 1 kg respektive 0.5 m. Om en ring placeras ovanför plattan med en massa och radie på 0.2 kg respektive 0.1 m, och ringens centrum,

strax ovanför skivans centrum, då kommer skivan och ringen att rotera tillsammans med vinkelhastigheten ...

Lösning:

Tröghetsmoment för en solid cylinder: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m² ⁼ (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Ringens tröghetsmoment: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Initialt rörelsemängdsmoment (L1 ₎ = Slutligt rörelsemängdsmoment ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konceptuella frågor och svar

1. Vad är vinkelmoment?
   Svar: Vinkelmoment är ett mått på hur mycket rotation ett objekt har, med tanke på dess massa och form. Det är den rotationsmässiga analogin till linjärt momentum.
2. Hur bestäms vinkelmoment matematiskt?
   Svar: Vinkelmoment (L) definieras som $L=r\times p$Där $r$ är positionsvektorn från rotationsaxeln till appliceringspunkten, och $p$ är det linjära momentumet.
3. Är rörelsemängdsmoment en skalär eller vektorstorhet?
   Svar: Vinkelmoment är en vektorstorhet.
4. Vilken enhet är rörelsemängdsmoment i SI-systemet?
   Svar: Enheten för rörelsemängdsmoment i SI-systemet är kilogrammeter per sekund (kg·m²/ S).
5. Hur bevaras rörelsemängdsmoment?
   Svar: I ett slutet system utan externa vridmoment förblir det totala vinkelmomentet konstant.
6. Vad är principen för bevarande av rörelsemängdsmoment?
   Svar: Principen säger att det totala vinkelmomentet i ett slutet system förblir konstant om det inte påverkas av ett externt vridmoment.
7. Hur relaterar en konståkares rotation till vinkelmoment?
   Svar: När en konståkare drar sina armar och ben nära kroppen under en snurrning minskar deras tröghetsmoment, vilket får dem att snurra snabbare. Detta visar att rörelsemängdsmomentet bevaras.
8. Vad är förhållandet mellan vridmoment och vinkelmoment?
   Svar: Vridmoment ($\tau$) är förändringshastigheten för rörelsemängdsmoment. Matematiskt sett, τ=dL/sek​.
9. Är det möjligt för ett objekt att ha rörelsemängdsmoment utan vinkelhastighet?
   Svar: Nej, om ett objekt har rörelsemängdsmoment har det vinkelhastighet. Storleken och riktningen på rörelsemängden beror på både tröghetsmomentet och vinkelhastigheten.
10. Hur påverkar tröghetsmomentet rörelsemängdsmomentet?
    Svar: Vinkelmomentet (L) är produkten av tröghetsmomentet (I) och vinkelhastigheten (ω). $L=I\omega$, en ökning av tröghetsmomentet för en given vinkelhastighet kommer att öka vinkelmomentet.
11. Vad är skillnaden mellan spinn och orbitalt vinkelmoment i kvantmekanik?
    Svar: Spinnvinkelmoment är en inneboende egenskap hos partiklar, liksom elektroner, och uppstår inte från rörelse i rymden. Orbitalt vinkelmoment, å andra sidan, uppstår från en partikels rörelse runt en central punkt.
12. Vilken roll spelar rörelsemängdsmoment i bildandet av planetsystem?
    Svar: När ett molekylärt moln kollapsar och bildar stjärnor och planeter, orsakar bevarandet av rörelsemängdsmomentet att materialet plattas till en skiva runt den nyfödda stjärnan, från vilken planeter kan bildas.
13. Hur bibehåller ett gyroskop sin orientering i rymden?
    Svar: Ett roterande gyroskop har rörelsemängdsmoment. När ett externt vridmoment försöker ändra sin orientering, precesserar gyroskopet, eller ändrar sin rotationsaxel, i en riktning vinkelrät mot det applicerade vridmomentet på grund av bevarandet av rörelsemängdsmomentet.
14. Vad orsakar precession i en snurrtopp?
    Svar: Precession i en snurra orsakas av vridmomentet på grund av gravitationen som verkar på snurrans masscentrum, vilket är förskjutet från dess vridpunkt. Detta vridmoment resulterar i en förändring i riktningen på snurrans vinkelmoment, vilket får den att precessera.
15. Varför plattar stjärnor ut sig vid sina poler?
    Svar: När stjärnor roterar upplever de en centrifugalkraft som trycker materia utåt. Denna effekt är starkare vid ekvatorn än vid polerna, vilket leder till en oblat, eller tillplattad, form.
16. Hur är rörelsemängdsmoment relaterat till Keplers andra lag?
    Svar: Keplers andra lag säger att ett linjesegment som förbinder en planet och solen sveper ut lika stora ytor under lika tidsintervall. Detta är en konsekvens av bevarandet av rörelsemängdsmomentet.
17. Varför landar en katt alltid på fötterna när den faller?
    Svar: Katter använder rörelsemängdens bevarande. Genom att vrida sina kroppar och ändra sina tröghetsmoment i luften kan de omorientera sig för att landa på fötterna utan att bryta mot rörelsemängdens bevarandelagar.
18. Hur är det magnetiska momentet relaterat till vinkelmomentet i elektroner?
    Svar: En elektrons magnetiska moment uppstår från dess spinn och orbitala rörelsemängdsmoment. Det magnetiska momentet är proportionellt mot elektronens rörelsemängdsmoment.
19. Vad är vinkelmoment i termer av polära koordinater?
    Svar: I polära koordinater, vinkelmoment $L$ för en punktmassa kan uttryckas som $L=mrv$Där $m$ är massan, $r$ är det radiella avståndet, och $v$ är den tangentiella hastigheten.
20. Vad händer med rörelsemängden i ett slutet system när två objekt kolliderar?
    Svar: I ett slutet system där två objekt kolliderar är det totala vinkelmomentet före kollisionen lika med det totala vinkelmomentet efter kollisionen, förutsatt att inga externa vridmoment verkar på systemet.

Problem och lösningar

1. Problem: En punktmassa m = 2 kg rör sig med en hastighet v = 3 m/s i en cirkel med radien r = 4 m. Beräkna dess rörelsemängdsmoment kring cirkelns centrum.

Lösning: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Problem: En solid sfär med massan 3 kg och radien 0.5 m roterar kring sin diameter med en vinkelhastighet ω = 2 rad/s. Vad är dess rörelsemängdsmoment?

Lösning: För en solid sfär är I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problem: En punktmassa på 3 kg rör sig med en hastighet av 4 m/s i en rak linje. Vad är dess rörelsemängdsmoment kring en punkt 5 m från dess rörelselinje?

Lösning:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problem: En skiva med massan 5 kg och radien 3 m roterar med en vinkelhastighet på 2 rad/s. Beräkna dess rörelsemängdsmoment.

Lösning: För en skiva är I = 1/2 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problem: En stav med längden 4 m och massan 2 kg roterar kring ena änden med en vinkelhastighet på 3 rad/s. Beräkna dess rörelsemängdsmoment.

Lösning: För en stav runt ena änden ^är I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problem: Hur stor är förändringen i rörelsemängdsmoment om en roterande kropp fördubblar sin vinkelhastighet?

Lösning: Sambandet mellan rörelsemängdsmoment (L) och vinkelhastighet (ω) är $L=I\times \omega$ . Om ω fördubblas, kommer även rörelsemängdsmomentet att fördubblas.

7. Problem: Om radien för en cirkulär bana för en rörlig partikel fördubblas samtidigt som hastigheten hålls konstant, med vilken faktor förändras rörelsemängdsmomentet?

Lösning: Vinkelmoment, $L=m\times r\times v$ . Om r fördubblas, kommer även L att fördubblas.

8. Problem: Ett barn med massan 30 kg står vid kanten av en karusell som står i vila. Karusellens radie är 2 m. Om barnet börjar springa med en hastighet av 2 m/s i förhållande till marken längs kanten, hitta barnets rörelsemängdsmoment i förhållande till centrum.

Lösning: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Problem: En cylinder med massan 6 kg och radien 2 m roterar kring sin centrala axel med en vinkelhastighet på 5 rad/s. Beräkna dess rörelsemängdsmoment.

Lösning: För en cylinder är I = 1/2 m ^/ r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 kg.m² ^/ s

10. Problem: Vad blir en kropps nya rörelsemängdsmoment om dess tröghetsmoment halveras och dess vinkelhastighet tredubblas?

Lösning: Givet $L=I\times \omega$ , om $I$ halveras och $\omega$ tredubblas, blir det nya $L$ 1/2×3 = 1.5 × det ursprungliga.

11. Problem: En ring med massan 2 kg och radien 1 m roterar med en vinkelhastighet på 4 rad/s. Beräkna dess rörelsemängdsmoment.

Lösning: För en ring är I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2×12 ^× 4=8 kg.m² ^/ s

12. Problem: En fläkt har blad med en längd på 0.5 m och en total massa på 1 kg. Om den roterar med en vinkelhastighet på 10 rad/s, bestäm dess rörelsemängdsmoment.

Lösning: Om vi ​​antar att fläktbladen är som stavar som roterar runt ena änden, är I =1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 kg.m² ^/ s

13. Problem: Beräkna jordens rörelsemängdsmoment kring sin egen axel på grund av dess rotation. Givet: Jordens massa ⁼ 5.972 × ^10²⁴ kg , radie $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁴rad\text{/s}$.

Lösning: Om vi ​​antar att jorden är en solid sfär, I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problem: Ett barn rör sig mot mitten av en roterande plattform. Ökar, minskar eller förblir rörelsemängden densamma?

Lösning: Vinkelmomentet bevaras. När barnet rör sig mot centrum minskar tröghetsmomentet. För att bevara vinkelmomentet ökar vinkelhastigheten. Således förblir vinkelmomentet detsamma.

15. Problem: Om den kinetiska energin hos en roterande kropp fördubblas, med vilken faktor förändras dess rörelsemängdsmoment?

Lösning: Kinetisk energi K = 1/2 ​I ω ² och vinkelmoment $L=I\omega$ . Om den kinetiska energin fördubblas och $I$ förblir konstant, fördubblas ω ^2.$Detta\; innebär\; att\; \omega$ ökas med en faktor √2 ​. Således ökar även L med en $faktor$√2 ​.

16. Problem: Ett cykelhjul med radien 0.3 m har en fälg med massan 1.5 kg. Om det roterar med en vinkelhastighet på 5 rad/s, hitta dess rörelsemängdsmoment.

Lösning: Om vi ​​antar att kanten är en ring, I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problem: En skridskoåkare drar armarna inåt medan hon snurrar. Vad händer med hennes rörelsemängdsmoment?

Lösning: Skridskoåkarens rörelsemängdsmoment är bevarat. Genom att dra in armarna minskar hon sitt tröghetsmoment och snurrar därmed snabbare (ökad vinkelhastighet) för att bevara sitt rörelsemängdsmoment.

18. Problem: Ett svänghjul har ett tröghetsmoment på 0.2 kg.m² ^kg.m² och roterar med en vinkelhastighet på 10 rad/s. Beräkna dess rörelsemängdsmoment^.

Lösning:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problem: Ett system verkar på ett externt nettomoment på noll. Vad kan man säga om dess rörelsemängdsmoment?

Lösning: Om det externa nettovridmomentet är noll, förblir systemets totala vinkelmoment konstant, enligt rörelsemängdens bevarande.

20. Problem: En punktmassa m = 5 kg rör sig med en hastighet v = 3 m/s vinkelrätt mot linjen som förbinder den med en punkt P. Om avståndet från punkten P är 4 m, hitta dess rörelsemängdsmoment kring punkten P.

Lösning:

$L=m\times r\times v$ = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s