Moment inersia

Materialets tröghetsmoment

Det finns två objekt, varav det ena har en liten massa och det andra har en större massa. Vilket objekt är lättare att flytta om det trycks med samma kraft? Faktum är att objekt med en mindre massa är lättare att flytta än objekt med en större massa. Så storleken på objektets massa avgör storleken på objektets acceleration om en kraft appliceras. Om det är i rak rörelse avgör objektets massa om ett objekt är lätt eller svårt att flytta (accelerera), medan det i rotationsrörelse avgör objektets tröghetsmoment om ett objekt är lätt eller svårt att flytta.

partikel
Betrakta en roterande partikel. En partikel med massan m ges en kraft F så att partikeln roterar kring rotationsaxeln O. Partikeln är på avståndet r från rotationsaxeln. Initialt är partikeln i vila (v = 0). Efter att ha förflyttats av kraften F roterar partikeln med en viss hastighet så att partikeln har en tangentiell acceleration (en tan).
Sambandet mellan kraft (F), massa (m) och tangentiell acceleration (en tan) hos en partikel uttrycks av ekvationen:
Partikeln roterar så att den har en vinkelacceleration. Sambandet mellan tangentiell acceleration och vinkelacceleration uttrycks av ekvationen:
Ersätt eller byt ut den tangentiella accelerationen (en tangentiella vinkel) i ekvation 3 med den tangentiella accelerationen (en tangentiella vinkel) i ekvation 4.
Multiplicera vänster- och högersidan med r:
r F är kraftmomentet och mr² är tröghetsmomentet för partikel I). Ekvation 5 anger förhållandet mellan kraftmomentet, tröghetsmomentet och vinkelaccelerationen för en roterande partikel. Ekvation 5 är Newtons andra lag för en roterande partikel.
I är produkten av partikelns massa (m) och kvadraten av partikelns avstånd från rotationsaxeln (r).²).
Sammanfattning:
I = partikelns tröghetsmoment, m = partikelns massa, r = avståndet mellan partikeln och rotationsaxeln
Ekvation 6 används för att bestämma tröghetsmomentet för en roterande partikel.
Så att du bättre kan förstå granskningen av partiklarnas tröghetsmoment, vänligen studera exempel på problem med partikeltröghetsmoment.

Homogen stel kropp
En stel kropp består av många partiklar spridda över hela kroppen. Momentet för en stel kropp är summan av alla moment för varje partikel som utgör den stela kroppen.
För att bestämma I-värdet för ett stelt objekt betraktas objektet medan det roterar eftersom rotationsaxelns läge påverkar momentets värde. Förutom att bero på rotationsaxelns läge beror I-värdet för en partikel också på partikelns massa (m) och kvadraten på partikelns avstånd från rotationsaxeln (r).²Massan av alla partiklar som utgör ett objekt är densamma som massan av själva objektet. Problemet är att avståndet mellan varje partikel och rotationsaxeln varierar.
Betrakta härledningen av formeln för en tunn ring med radien R och massan M. Om rotationsaxeln är i ringens centrum, befinner sig alla partiklar som utgör ringen på avståndet r från rotationsaxeln. Momenten I för den tunna ringen är lika med summan av momenten för alla partiklar som utgör ringen.
Varje partikel som utgör den tunna ringen befinner sig på ett avstånd r från rotationsaxeln så att r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Formel för tunn ring:
Jag = MR²
Sammanfattning:
I = tröghetsmomentet för den tunna ringen, M = massan för den tunna ringen, R = radien för den tunna ringen
Vad händer om rotationsaxeln inte är belägen i ringens centrum? Om rotationsaxeln inte är belägen i ringens centrum kan formeln för den tunna ringen inte härledas med hjälp av metoden ovan eftersom avståndet mellan varje partikel och rotationsaxeln varierar.

Formel för homogen stel kropp
Följande är formler för flera homogena stela kroppar.

Problem exempel

1. Soal FN SMA/MA 2017

Var uppmärksam på följande tabell!

Objekten P, Q och R är sammankopplade med en masslös stång. Storleken på systemets tröghetsmoment kring en axel vinkelrät mot planet genom objektets P axel är…

Diskussion

Det är känt:

Frågat: Systemets tröghetsmoment

Jawab:

Tröghetsmoment för objekt Q:

IQ ₌ mr² = (0,5)(10² ^{) =} (0,5)(100) = 50 kg ^m²

Objektets tröghetsmoment R:

I _R = mr² ⁼ (3)( ^6² ) = (3)(36) = 108 kg ^m²

Tröghetsmomentet för objektet P:

Rotationsaxeln går genom objektet P:s axel så att r = 0.

Systemets tröghetsmoment:

I = 50 kg ^m² + 108 kg ^m²

Jag = 158 kg ^m²