4 exempel på frågor om hjul-hjul-koppling
1. Två hjul A och B är sammankopplade med ett band (se bilden). Om radien för A är dubbelt så stor som radien för B, då händer...
A. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
C. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2 ωB
Diskussion
Det är känt att:
Hjul A:s radie (rA) = dubbelt så stor som hjul B:s radie (2 rB)
Frågade:
– Sambandet mellan hjul A:s linjära hastighet (vA) och hjul B:s linjära hastighet (vB)
– Sambandet mellan vinkelhastigheten för hjul A (ωA) och vinkelhastigheten för hjul B (ωA).
Jawab:
Hjulen A och B är sammankopplade med ett band så att när hjul A roterar, roterar även hjul B. Om hjul A:s yta rör sig 1 meter på 1 sekund, så rör sig även hjul B:s yta 1 meter på 1 sekund. Så hjul A:s linjära hastighet är densamma som hjul B:s linjära hastighet (vA = vB).
Å andra sidan, om hjul B har fullbordat ett varv, har hjul A inte fullbordat ett varv eftersom omkretsen av hjul B är mindre medan omkretsen av hjul A är större. Med andra ord är vinkelhastigheten för hjul A inte densamma som vinkelhastigheten för hjul B. Vad är förhållandet mellan vinkelhastigheten för hjul A och vinkelhastigheten för hjul B?
Hjulets A hastighet: vA = rA ωA = 2rB ωA
Hjul B:s hastighet vB = rB ωB
Hastigheten på hjul A är densamma som hastigheten på hjul B:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
Det rätta svaret är C.
2. Tre hjul A, B och C är sammankopplade enligt figuren. Om radierna för hjul A, B och C är 20 cm, 8 cm respektive 4 cm, och hjul B roterar med en vinkelhastighet på 10 rad.s-1, sedan roterar hjul C med vinkelhastighet lika stor som…
A. 80 rad.s-1
B. 50 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 20 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Diskussion
Det är känt att:
Hjulradie A (rA) = 20 cm = 0,2 meter
Hjul B:s radie (rB) = 8 cm = 0,08 meter
Hjulradie C (rC) = 4 cm = 0,04 meter
Vinkelhastighet för hjul B (ωB) = 10 rad/s
Fråga: Vinkelhastighet för hjul C (ωC)
Jawab:
Vinkelhastighet och linjär hastighet för hjulfälg A
Hjul A och hjul B är fästa vid varandra, så de roterar tillsammans. Om hjul B roterar i en cirkel ett varv (360°), så rör sig även hjul A i en cirkel ett varv (360°) under samma tidsintervall. Eftersom de roterar tillsammans är vinkelhastigheten för hjul A (ωA) densamma som vinkelhastigheten för hjul B (ωB).
Vinkelhastighet för hjul A:
ωA = ωB = 10 radianer/sekund
Linjär hastighet för hjulfälgen A:
Storleken på den linjära hastigheten för kanten av hjul A beräknas med hjälp av formeln för förhållandet mellan linjär hastighet och vinkelhastighet, v = r ω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
Vinkelhastighet och linjär hastighet hos hjulfälgen C
Omkretsen på hjul A är mycket större än omkretsen på hjul C. När hjul C har rört sig i en cirkel ett varv (360°), har hjul A under samma tidsintervall ännu inte fullbordat ett varv (360°).oSåledes är vinkelhastigheten för hjul A inte densamma som vinkelhastigheten för hjul C.
Hjulen A och C är dock sammankopplade med ett rep eller en kedja. Eftersom de är sammankopplade under samma tidsintervall är den sträcka som kanten på hjul A tillryggalägger densamma som den sträcka som kanten på hjul C tillryggalägger. Så den linjära hastigheten för kanten på hjul C (vC) är densamma som den linjära hastigheten för kanten på hjul A (vA).
Linjär hastighet för hjulfälgen C:
vC = vA = 2 m/s
Vinkelhastighet för hjul C:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 radianer/sekund = 50 rad.s-1.
Det rätta svaret är B.
3. Ett hjulsystem med radierna RA = 2 cm; RB = 4 cm och RC = 10 cm är kopplat enligt figuren. Hjul B roterar med 60 varv per minut, så den linjära hastigheten för hjul C är…
A. 8π cm·s-1
B. 12 cm.s-1
C. 12π cm·s-1
D. 24 cm.s-1
Ö. 24π cm.s-1
Diskussion
Det är känt att:
Hjulradie A (rA) = 2 cm
Hjul B:s radie (rB) = 4 cm
Hjulradie C (rC) = 10 cm
Vinkelhastighet för hjul B (ωB) = 60 varv/minut = 60 varv/60 sekunder = 1 varv/sekund = 1(2π radianer)/sekund = 2π rad/s
Fråga: Linjär hastighet för hjul C (vC)
Jawab:
Linjär hastighet för hjulfälgen B
Linjär hastighet för hjulkant B:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
Linjär hastighet för hjulfälgen A
Hjul A och hjul B är sammankopplade med ett rep så den linjära hastigheten för kanten av hjul A (vA) är densamma som den linjära hastigheten för kanten av hjul B (vB).
vA = vB = 8π cm/s
Linjär hastighet för hjulfälgen C
Hjul C och hjul A är sammankopplade med ett rep så den linjära hastigheten för kanten av hjul C (vC) är densamma som den linjära hastigheten för kanten av hjul A (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
Det rätta svaret är A.
4. Betrakta följande hjulförhållanden! Hjulradierna RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm, och hjul C roterar med en rotationshastighet på 60 varv per minut. Vinkelhastigheten för hjul A är…
A. 2,5π rad.s-1
B. 3π rad.s-1
C. 3,2π rad.s-1
D. 3,5π rad.s-1
E. 3,8π rad.s-1
Diskussion
Det är känt att:
Hjulradie A (rA) = 25 cm = 0,25 meter
Hjul B:s radie (rB) = 15 cm = 0,15 meter
Hjulradie C (rC) = 40 cm = 0,4 meter
Hjulets vinkelhastighet C (ωC) = 60 varv/minut = 60 varv/60 sekunder = 1 varv/sekund = 1(2π radianer)/sekund = 2π rad/s
Fråga: Vinkelhastighet för hjul A (ωA)
Jawab:
Linjär hastighet för hjulfälgen C:
vC = rC ωC = (0,4 m)(2π rad/s) = 0,8π m/s
Linjär hastighet för hjulfälgen B
Hjul C och hjul B är sammankopplade med ett rep så den linjära hastigheten för kanten av hjul C (vC) är densamma som den linjära hastigheten för kanten av hjul B (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Vinkelhastighet och linjär hastighet för hjulfälg A
Hjul A och hjul B är sammankopplade som visas på bilden ovan, därför är vinkelhastigheten för hjul A inte densamma som vinkelhastigheten för hjul B. Detta beror på att omkretsen för hjul A är större än för hjul B. Under samma tidsintervall, när hjul A har rört sig i en cirkel ett varv (360o), hjul B har ännu inte nått ett varv (360o). Under samma tidsintervall är dock den sträcka som kanten på hjul A tillryggalägger densamma som den sträcka som kanten på hjul B tillryggalägger. Så den linjära hastigheten för kanten på hjul A (vA) är densamma som den linjära hastigheten för kanten på hjul B (vB).
Linjär hastighet för hjulfälgen A
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Vinkelhastighet för hjul A
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π rad/s
Det rätta svaret är C.
