Очување механичке енергије на кривим површинама – проблеми и решења
1. Ако је брзина лопте у тачки А 6 m/s, брзина лопте у тачки Б је √92 m/s, а убрзање гравитације је g = 10 m/s 2 . Колика је висина тачке Б (h)?
Познато:
Брзина лопте у тачки А (vA) = 6 м/с
Брзина лопте у тачки B (v B ) = √92 m/s
Убрзање гравитације (g) = 10 m/ s²
Висина А (h A ) = 5.6 метара
Висина B (h B ) = h
Тражи се: Висина тачке Б (х)
Решење:
Почетна механичка енергија = гравитациона потенцијална енергија
У тачки А, брзина лопте = 0, тако да је кинетичка енергија лопте = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Лопта је на висини од 5.6 метара, тако да лопта има гравитациону потенцијалну енергију. Гравитациона потенцијална енергија : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Почетна механичка енергија = гравитациона потенцијална енергија + кинетичка енергија = 56 m + 0 = 56 m
Коначна механичка енергија = гравитациона потенцијална енергија + кинетичка енергија
У тачки B, висина лопте је h. Гравитациона потенцијална енергија: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Кинетичка енергија лопте: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Коначна механичка енергија = гравитациона потенцијална енергија + кинетичка енергија = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Принцип очувања механичке енергије:
Почетна механичка енергија = коначна механичка енергија
56 м = м (10 ч + 46)
56 = 10 h + 46
56 – 46 = 10 х
10 = 10 сати
х = 10/10
h = 1 метара
2.
Ако је почетна брзина = 0, убрзање гравитације = 10 m/s² , колика је онда брзина на висини B?
Познато:
Почетна брзина (v₂o ) = 0
Почетна висина (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Коначна висина (ht ) = 0
Убрзање гравитације (g) = 10 ms -2
Жељена: Коначна брзина (v t )
Решење:
Промена кинетичке енергије:
ΔКЕ = 1/2 м (в т 2 – в о 2 ) = 1/2 м (в т 2 – 0) = 1/2 мв т 2
Промена потенцијалне енергије:
ΔPE = mg(ht – ho ) = m(10)(0-40) = m(10)(-40) = –400 m
Израчунајте коначну брзину (vt ) користећи једначину принципа одржања механичке енергије :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t² = 400 m
1/2 v t² = 400
v t 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- Шта се подразумева под „очувањем механичке енергије“?
- Одговор: Очување механичке енергије значи да укупна механичка енергија (збир кинетичке и потенцијалне енергије) изолованог система остаје константна ако на њега делују само конзервативне силе, попут гравитације.
- Како објекат који се креће по закривљеној површини (као лопта која се котрља низ закривљену рампу) чува своју механичку енергију?
- Одговор: Како се објекат креће низ закривљену површину, потенцијална енергија се претвара у кинетичку енергију, али укупна механичка енергија остаје константна, под претпоставком да не врше рад неконзервативне силе (попут трења).
- Ако се лопта ослободи из стања мировања на врху закривљене рампе, како се њена кинетичка енергија мења док се креће низ рампу?
- Одговор: Кинетичка енергија лопте се повећава док се креће низ рампу јер се њена потенцијална енергија смањује и претвара у кинетичку енергију.
- У одсуству трења, како би се брзина лопте на дну закривљеног тобогана упоредила са брзином правог тобогана исте висине?
- Одговор: Брзина лопте на дну била би иста и за закривљени и за прави клизач, јер конверзија потенцијалне енергије у кинетичку енергију зависи само од вертикалне висине, а не од пређене путање.
- Зашто лопта не може достићи своју првобитну висину када се котрља уз закривљену рампу након спуштања са одређене висине?
- Одговор: Ако на лопту делују неконзервативне силе попут трења, оне ће вршити рад супротан кретању, претварајући део механичке енергије лопте у друге облике, попут топлоте. Као резултат тога, лопта можда неће имати довољно енергије да достигне своју првобитну висину.
- Ако два објекта различитог облика (нпр. сфера и коцка) клизе низ закривљену рампу са исте висине без котрљања, да ли ће имати исту брзину на дну? Зашто?
- Одговор: Да, имаће исту брзину на дну. Под претпоставком да нема котрљања и трења, једини фактор који одређује њихову брзину је закон очувања енергије на основу почетне висине, а не њихов облик.
- Како закривљеност површине утиче на нормалну силу на објекат који се креће дуж ње?
- Одговор: Закривљеност узрокује промену правца нормалне силе како се објекат креће. На конкавној површини усмереној нагоре (као што је унутрашњост чиније), нормална сила је већа на дну због центрипеталне силе потребне за закривљено кретање. Насупрот томе, на конвексној површини, нормална сила може да се смањи или чак постане нула (објекат напушта површину) у највишој тачки.
- Какву улогу игра полупречник кривине у очувању механичке енергије на закривљеној површини?
- Одговор: Сам полупречник закривљености не утиче директно на очување механичке енергије. Међутим, може утицати на нормалну силу и, ако постоји трење, на количину енергије која се губи због неконзервативних сила.
- Ако стаза има удубљење у средини (као крива у облику слова U), како се механичка енергија објекта мења док се креће кроз удубљење и уз другу страну?
- Одговор: Потенцијална енергија објекта ће се смањивати како се креће у удубљење и повећавати своју кинетичку енергију. Како се креће уз другу страну, његова кинетичка енергија ће се смањивати, а потенцијална енергија ће се повећавати. Ако делују само конзервативне силе, укупна механичка енергија остаје константна током целог кретања.
- Да ли објекат може имати и транслациону и ротациону кинетичку енергију када се креће по закривљеној површини?
- Одговор: Да, ако се објекат попут лопте котрља (без клизања) по закривљеној површини, имаће транслациону кинетичку енергију због кретања центра масе и ротациону кинетичку енергију због ротације око своје осе.
