Materiali i Shumëzimit Kryq duke Përdorur Komponentët Vektorialë Njësorë
Mund ta llogarisim prodhimin e kryqëzuar drejtpërdrejt nëse i dimë përbërësit e vektorëve. Procedura është e njëjtë si për prodhimin me pika . Së pari, shumëzojmë vektorët njësi i , j dhe k . Prodhimi vektorial midis të njëjtëve vektorë njësi është zero.
i x i = j x j = k x k = 0
Duke iu referuar ekuacionit të shumëzimit të vektorëve të nxjerrë më parë (A x B = AB pa θ) dhe vetia antikomutative e shumëzimit vektorial (A x B = - B x A), atëherë marrim:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Tani i shprehim vektorët A dhe B në terma të përbërësve të tyre, zbërthejmë prodhimin e tyre dhe përdorim prodhimin e vektorëve njësi.
A x B = = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Sepse i x i = j x j = k x k = 0 bovë i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, kështu që:
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( - i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i +(AzBx - Ax Bz)j +(AxBy - AyBx )k
Nëse C = A x B , atëherë përbërësit e C janë si më poshtë:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
