Vektorët nuk janë numra të zakonshëm, kështu që shumëzimi i zakonshëm nuk mund të zbatohet drejtpërdrejt mbi ta. Ne duhet të përdorim shumëzimin vektorial. Ekzistojnë dy lloje të shumëzimit vektorial: shumëzimi me pika dhe shumëzimi kryq. Shumëzimi me pika quhet edhe shumëzim skalar sepse prodhon një madhësi skalare. Shumëzimi kryq quhet edhe shumëzim vektorial sepse prodhon një madhësi vektoriale. Për shembull, ekzistojnë dy vektorë, përkatësisht A bovë BShumëzimi skalar i vektorëve A bovë B deklaruar me AB KMeqenëse arena përdor simbolin me pika, ky shumëzim quhet produkt me pikaShumëzimi vektorial i A bovë B deklaruar me A x BSepse përdor notacion x, atëherë ky shumëzim quhet shumëzim i kryqëzuar.
Për shembull, duke pasur parasysh vektorin A bovë B siç tregohet në imazhin më poshtë. Prodhimi me pika midis vektorëve A bovë B shkruar si AB (A pikë B).
Për të përcaktuar prodhimin pikësor të vektorëve A bovë B (AB), vektor i përshkruar A dhe vektorët Nga yqë formon një kënd θ. Pastaj vizatojmë projeksionin e vektorit B drejt drejtimit të vektorit AKy projeksion është një komponent i vektorit B e cila është paralele me vektorin A, e cila është e njëjtë me madhësinë B kosinus θ.
Kështu, ne përcaktojmë AB si një vektor i madh A shumëzuar me komponentët vektorialë B të gjitha sejajar në mënyrë AMatematikisht mund ta shkruajmë si më poshtë:
AB kosinus θ është një numër i zakonshëm (skalar). Prandaj, prodhimi me pika quhet edhe prodhim skalar. Po sikur prodhimi me pika midis vektorëve A bovë B u shndërrua në BA ? para se të përcaktojmë BA, së pari vizatojmë projeksionin e vektorit A te vektorët B (shih imazhin më poshtë).
Bazuar në këtë imazh, ne mund të përcaktojmë BA si një vektor i madh B shumëzuar me komponentët vektorialë A të gjitha sejajar në mënyrë BMatematikisht mund ta shkruajmë si më poshtë:
Rezultati i produktit Dot AB = AB kosinus θ dhe rezultati i prodhimit me pika BA = BA kosinus θ. Sepse AB kosinus θ = BA kosinus θ, atëherë zbatohet AB = BA
Disa gjëra rreth shumëzimit me pika që duhet të dini:
1. Prodhimi me pika plotëson ligjin komutativ.
AB = BA
2. Prodhimi me pika plotëson ligjin shpërndarës.
A. (B + C) = AB + AC
3. Nëse vektori A bovë B pingul me njëra-tjetrën, atëherë rezultati i produktit me pika AB = 0
Kur vektori A bovë B pingul me njëra-tjetrën, atëherë këndi i formuar është 90°oCos 90o = 0. Kështu: AB = AB kosinus cicë = AB cos 90o = 0. Nga ana tjetër, BA = BA kosinus cicë = BA cos 90o = 0
4. Nëse vektori A dhe vektorët B një drejtim, pra AB = AB cos 0o = AB
Kur vektori A bovë B në të njëjtin drejtim, atëherë këndi i formuar është 0oCos 0 = 1. Kështu, AB = AB kosinus cicë = AB cos 0o = ABPërkundrazi BA = BA kosinus cicë = BA cos 0o = BA
(Nuk duhet të ngatërroheni me AB bovë BAI madh AB = i madh BAPër shembull, madhësia e vektorit A = 2. madhësia e vektorit B = 3. pastaj AB = 2.3 = 6; kjo është e njëjtë me BA = 3.2 = 6.
5. Një kusht tjetër që dy vektorë të jenë në të njëjtin drejtim, nëse A = B pastaj mori AA = A2 ose BB = B2
6. Nëse vektori A bovë B drejtim të kundërt (kur dy vektorë janë në drejtime të kundërta, këndi i formuar është 180º), atëherë rezultati i shumëzimit AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Shembull problemesh:
Një vektor A ka një madhësi prej 4 njësish dhe është një vektor B ka 3 njësi. Përcaktoni prodhimin me pika të dy vektorëve nëse këndet e formuara nga dy vektorët janë 60º, 90º dhe 180º.o
Diskutim
Sepse AB = BA atëherë mund të zgjedhim të përdorim një. Për shembull, ne përdorim AB
AB = AB kosinus cicë
I madh A = 4 njësi dhe të mëdha B = 3 njësi.
