Materiali i Shumëzimit me Pika duke Përdorur Komponentët Vektorialë Njësorë
Mund ta llogarisim prodhimin skalar drejtpërdrejt nëse i dimë komponentët x, y dhe z të vektorëve A dhe B (vektorët e njohur).
Për të kryer një prodhim pikësor në këtë mënyrë, së pari kryejmë një prodhim pikësor të vektorëve njësi, pas kësaj shprehim vektorët A dhe B në përbërësit e tyre, zbërthejmë prodhimin dhe përdorim prodhimin e vektorëve njësi.
Vektorët njësi i , j dhe k janë pingulë me njëri-tjetrin, duke i bërë llogaritjet më të lehta. Duke përdorur ekuacionin skalar të shumëzimit të nxjerrë më sipër ( AB = AB cos theta ) marrim:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 o = 0
Tani i shprehim vektorët A dhe B në terma të përbërësve të tyre, zbërthejmë prodhimin e tyre dhe përdorim prodhimin e vektorëve njësi.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Sepse i . i = j . j = k . k = 1 dhe i . j = i . k = j . k = 0, atëherë:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay Nga y (1 ) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Bazuar në rezultatet e kësaj llogaritjeje, mund të konkludohet se prodhimi skalar ose prodhimi pikësor i dy vektorëve është shuma e prodhimeve të komponentëve të tyre të ngjashëm.
Shembull Pyetjeje 1:
Vektor i madh A bovë B përkatësisht janë 5 dhe 4, siç tregohet në figurën më poshtë. Këndi i formuar është 90°oNumëroje produkt me pika të dy vektorët.
Diskutim
Para se të llogarisim prodhimin pikësor të vektorëve A dhe B, së pari duhet të dimë përbërësit e vektorit të dytë.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Vektori A ka vetëm komponentë vektorialë në boshtin x dhe vektori B ka vetëm komponentë vektorialë në boshtin y. Komponenti z është zero sepse vektorët A dhe B janë në planin xy.
Tani llogarisim prodhimin pikësor midis vektorëve A dhe B duke përdorur ekuacionin e prodhimit pikësor me vektorë përbërës:
A B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Le ta krahasojmë me metodën e parë
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultati është i njëjtë.
Shembull Pyetjeje 2:
Vektor i madh A bovë B janë përkatësisht 5 dhe 4, siç tregohet në figurën më poshtë. Llogaritni produkt me pika të dy vektorët, nëse këndi i formuar është 30°o
Diskutim
Para se të llogarisim prodhimin pikësor të vektorëve A dhe B, së pari duhet të dimë përbërësit e vektorit të dytë.
Komponenti z është zero sepse vektorët A dhe B janë në planin xy.
Tani llogarisim prodhimin pikësor midis vektorëve A dhe B duke përdorur ekuacionin e prodhimit pikësor me vektorë përbërës:
Krahasojeni me metodën e parë.
