Taua Fa'amoemoeina o le Tu'ufa'atasiga Binomial
O le tufatufaina binomial o se tasi o tufatufaga fa'apitoa e masani ona maua i fuainumera ma le avanoa. O lenei tufatufaga e fa'amatalaina ai le aofa'i o manuia i se fa'asologa o tofotofoga binary tuto'atasi (tofotofoga e na'o le lua taunuuga: manuia po'o le toilalo). Ina ia malamalama atili i le tufatufaina binomial, e taua le malamalama i le manatu o le taua fa'amoemoeina, lea e fa'amatalaina ai le averesi o le taua o se tofotofoga e toe faia i se taimi umi. O lenei tusiga o le a toe iloiloina ai le manatu o le taua fa'amoemoeina i le tulaga o le tufatufaina binomial.
Fa'amatalaga o le Tufatufaga Binomial
O le tufatufaina binomial e tulaʻi mai i tulaga tatou te faʻatinoina ai le tele o tofotofoga tutusa ma tutoʻatasi, ma o tofotofoga taʻitasi e lua taunuuga e le faʻalagolago i ai, e masani ona taʻua o le "manuia" ma le "toilalo." Mo se faʻataʻitaʻiga, togiina o se tupe siliva (ulu poʻo siʻusiʻu), taliina o se fesili o le suega (moni pe sese), poʻo se tofotofoga faafomaʻi (faʻamalolo pe leʻi faʻamaloloina).
O le tufatufaina binomial e faʻamatalaina e ni parakalafa se lua:
– n , aofaʻi o tofotofoga.
– p , le avanoa e manuia ai i tofotofoga taʻitasi.
I se faaupuga faigofie, afai o X o se fesuia'iga fa'afuase'i e fai ma sui o le aofa'i o manuia i le n tofotofoga, ona mulimuli lea o le X i se tufatufaga binomial ma parakalafa n ma le p, ua fa'ailoa mai o le X ~ Binomial(n, p).
Galuega Fa'atino o le Avanoa
O le galuega faatino o le avanoa o le tufatufaina atu o le binomial e faapea:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
di mana:
– \( \binom{n}{k} \) o le binomial coefficient, lea e fuafuaina e pei o le \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( k \) o le aofaʻi manaʻomia o manuia.
– \( n \) o le aofaʻi o faʻataʻitaʻiga.
– \( p \) o le avanoa e manuia ai i tofotofoga taʻitasi.
– \( (1-p) \) o le avanoa e toilalo ai i tofotofoga taʻitasi.
Tau Fa'amoemoeina
O le tau fa'amoemoeina po'o le averesi o se tufatufaga o le avanoa o se tasi lea o fua sili ona taua o le tulaga tutotonu. Mo le tufatufaga binomial, o le tau fa'amoemoeina o se fesuia'iga fa'afuase'i X e mulimuli i le Binomial(n, p) o le:
\[ E(X) = np \]
Fa'amaoniga o le Tau Fa'amoemoeina
Ina ia malamalama pe aisea ua avea ai le tau faʻamoemoeina o le tufatufaina atu o le binomial ma np, e mafai ona tatou faʻaaogaina le meatotino linearity o le tau faʻamoemoeina ma vaʻai pe faʻapefea ona faʻaopoopoina fesuiaʻiga binary i la latou sao.
Se'i o tatou fa'amatalaina le \( X \) o le aofa'i o manuia i ni fa'ata'ita'iga binary e n. E sili atu ona fa'apitoa, ia avea le \( X_i \) ma se fesuia'iga fa'afuase'i e fa'ailoa mai ai le i'uga o le fa'ata'ita'iga lona-i, fa'atasi ai ma le \( X_i = 1 \) pe afai e manuia le fa'ata'ita'iga lona-i, ma le \( X_i = 0 \) pe afai e toilalo. Ona mafai lea ona tatou tusia le \( X \) e pei o:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Talu ai o \( X_i \) taitasi o se fesuiaʻiga binary ma le avanoa e manuia ai p, o le tau faʻamoemoeina o \( X_i \) e:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
E mafai ona tatou faʻaaogaina le meatotino linearity o le taua faʻamoemoeina mo le taua faʻamoemoeina o le X:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
O lenei mea e faʻaalia ai o le tau faʻamoemoeina o le binomial distribution o le np.
Fa'ata'ita'iga Fa'ata'ita'i
Se'i mafaufau i le tulaga lea tatou te togiina ai se tupe siliva talafeagai i le 10 taimi. Se'i o tatou fesili po'o le a le tau fa'amoemoeina o le aofa'i o togi e i'u ai i ulu.
I lenei tulaga:
– n = 10 (numera o togiina o tupe siliva)
– p = 0.5 (avanoga e maua ai ulu, talu ai e talafeagai le tupe siliva)
O lea la, o le tau faʻamoemoeina e:
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]
O lona uiga afai tatou te togiina se tupe siliva i le 10 taimi i se taimi umi, i le averesi o le a tatou maua ni ulu e 5 taimi.
Fesuiaiga ma le Fa'asologa Fa'atonu
I le fa'aopoopoga i le tau fa'amoemoeina, e taua fo'i le malamalama i le variance ma le standard deviation o le binomial distribution.
Mo le binomial distribution, o le variance \( \sigma^2 \) ma le standard deviation \( \sigma \) e fa'apea:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
O le eseesega e fuaina ai le mamao o le salalau o faʻamaumauga mai le tau faʻamoemoeina. O le tulaga masani o le eseesega o le aʻa sikuea o le eseesega ma e fuaina ai foʻi le salalau o faʻamaumauga, ae i iunite tutusa ma faʻamaumauga muamua.
I'uga
O le tufatufaina atu o le binomial o se manatu faavae i fuainumera ma le avanoa, e masani ona maua i le tele o faʻaoga moni i le lalolagi, mai pisinisi i saienisi lautele ma le paiolo. O le taua faʻamoemoeina o le tufatufaina atu o le binomial, ua fuafuaina o le np, e maua ai se malamalamaaga taua i le averesi o le aofaʻi o manuia i se faasologa o tofotofoga binary. I le malamalama i manatu o le taua faʻamoemoeina, eseesega, ma le faʻasologa masani, e mafai ona tatou maua se malamalamaga manino i uiga o le tufatufaina atu o le binomial ma le auala e faʻamatalaina ai nisi o mea tutupu i le olaga i aso faisoo.
E matuā aogā tele lenei malamalama e lē gata i le auʻiliʻiliga o faʻamaumauga ma fuainumera, ae faʻapea foʻi i le faia o faʻaiʻuga e manaʻomia ai le iloiloina o le ono mafai ma le lē mautinoa. O le malamalama i le taua e faʻamoemoeina ma le tufatufaina atu o le binomial e mafai ona fesoasoani ia i tatou e faia ai ni valoʻaga saʻo ma faia ni faʻaiʻuga sili atu ona saʻo.
