Metotia o le Least Squares: Fa'atomuaga ma le Fa'aogaina i le Su'esu'ega o Fa'amaumauga
Pendahuluan
O le Metotia o le Least Squares o se tasi o metotia sili ona taua ma faʻaaogaina lautele i le auʻiliʻiliga o faʻamaumauga, aemaise lava i fuainumera ma le matematika faʻaaogaina. O lenei metotia e faʻamoemoe e faʻatatauina ni faʻasologa e faʻaitiitia ai le aofaʻi o sikuea o mea sese na matauina mai se faʻataʻitaʻiga ua fautuaina. I totonu o lenei tusiga, o le a matou suʻesuʻeina ai manatu autu o le metotia o le least squares, ona faʻaoga i vaega eseese, ma laʻasaga faʻatino mo le faʻatinoina.
Manatu Fa'avae o le Metotia o le Least Squares
E mafai ona fa'amatalaina faigofie le metotia o le Least Squares e ala i le linear regression. Fa'apea o lo'o ia i tatou fa'amaumauga i le tulaga o paga \((x_i, y_i)\) lea \( i = 1, 2, …, n \). O le fa'ata'ita'iga linear tatou te manana'o e fausia e mafai ona fa'aalia e pei o:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \]
lea o le \( \beta_0 \) ma le \( \beta_1 \) o parakalafa ia tatou te mananaʻo e faʻatatauina, ae o le \( \epsilon \) o le mea sese poʻo le mea totoe lea e faʻamoemoeina e iai le averesi o le zero.
O le sini o le metotia o le least squares o le faʻaitiitia lea o le galuega faʻatino nei:
\[ S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i)^2 \]
Sailiga o Fa'atulagaga Sili Ona Lelei: O se Auala Fa'amatematika
Ina ia maua ia tau o parakalafa e faʻaitiitia ai le galuega faʻamoemoe \( S \), e manaʻomia ona tatou fuafuaina vaega o mea e maua mai i le \( S \) e faʻatatau i le \( \beta_0 \) ma le \( \beta_1 \), ona foia lea o le fua faʻatatau lenei:
\[ \frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2 \sum_{i=1}^n (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i) = 0 \]
\[ \frac{\partial S}{\partial \beta_1} = -2 \sum_{i=1}^n x_i (y_i – \beta_0 – \beta_1 x_i) = 0 \]
I le foia o lenei faiga o fua fa'atatau laina, e mafai ona tatou maua ai fua fa'atatau \(\hat{\beta_0}\) ma le \(\hat{\beta_1}\):
\[ \hat{\beta_1} = \frac{n \sum_{i=1}^n x_i y_i – \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n y_i}{n \sum_{i=1}^n x_i^2 – (\sum_{i=1}^n x_i)^2} \]
\[ \hat{\beta_0} = \bar{y} – \hat{\beta_1} \bar{x} \]
lea o le \(\bar{y}\) ma le \(\bar{x}\) o averesi ia o le \(y\) ma le \(x\) i le faasologa lava lea.
Fa'aaogāina o le Metotia o le Least Squares
1. Tamaoaiga ma Tupe
O le metotia o le least squares e faʻaaogaina lautele i le econometrics e faʻataʻitaʻi ai sootaga i le va o fesuiaʻiga tau tamaoaiga. Mo se faʻataʻitaʻiga, atonu e manaʻo se tagata suʻesuʻe tau tamaoaiga e faʻataʻitaʻi le aʻafiaga o le fua faatatau o le leai o ni galuega i le faʻateleina o tau. I le faʻaaogaina o le metotia o le least squares, e mafai e le tagata suʻesuʻe ona atiaʻe se faʻataʻitaʻiga regression e faʻafesoʻotaʻi ai fesuiaʻiga e lua ma faia ni faʻaiʻuga faʻamaufaʻailoga e uiga i le malosi ma le natura o le sootaga.
2. Saienisi Lautele
I totonu o saienisi lautele, o le metotia o le least squares e masani ona faʻaaogaina i suʻesuʻega ma suʻesuʻega faʻalemafaufau e suʻesuʻe ai le sootaga i le va o amioga a tagata ma isi fesuiaʻiga. O se faʻataʻitaʻiga masani o se faʻasologa faigofie o le linear regression e faʻafesoʻotaʻi ai le tulaga o le fiafia o se tagata i lana tupe maua faaletausaga.
3. Inisinia
I le inisinia, e mafai ona faʻaaogaina le metotia least squares mo le faʻatulagaina o meafaigaluega ma le faʻagasologa o faʻailoilo. Mo se faʻataʻitaʻiga, i le faʻagasologa o ata numera, e faʻaaogaina lenei metotia e faʻaitiitia ai le pisa i ata e ala i le faʻafetauiina o se faʻataʻitaʻiga e faʻavae i luga o faʻamatalaga na matauina.
4. Tau ma le Tau
E fa'aaogā e le au su'esu'e tau lenei metotia e iloilo ai fa'amaumauga e feso'ota'i ma le vevela, timuga, po'o isi fesuia'iga o le tau. Fa'atasi ai ma fa'ata'ita'iga o le regression, e mafai ona latou vavaloina mamanu o le tau e fa'avae i luga o fa'amaumauga fa'asolopito, ma fesoasoani ai e fatuina ni va'aiga sa'o.
Fa'atinoga Fa'atino i le Python
Mo le fa'atinoina o le metotia least squares i le fa'atinoga, aemaise lava le simple linear regression, e mafai ona tatou fa'aogaina le gagana fa'apolokalame Python fa'atasi ai ma le fesoasoani a faletusi `numpy` ma `matplotlib`. O se fa'ata'ita'iga code lea e fa'aalia ai lenei faiga:
“`python
faaulufale mai numpy pei np
faaulufale mai matplotlib.pyplot pei plt
Fa'amatalaga fa'ata'ita'i
x = np.fa'asologa([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 7, 11])
Averesi o le x ma le y
averesi_x = np.averesi(x)
averesi_y = np.averesi(y)
Fuafua parakalafa
numerator = np.sum((x – mean_x) (y – mean_y))
fa'ailoga = np.aofa'i((x – averesi_x) 2)
b1 = numerator / denominator
b0 = averesi_y – b1 averesi_x
Vavalo y
y_pred = b0 + b1 x
Iʻuga o le fuafuaga
plt.scatter(x, y, lanu='lanumoana', fa'ailoga='Fa'amaumauga o Mata'ituina')
plt.plot(x, y_pred, lanu='mumu', fa'ailoga='Laina Fa'asolosolo')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.faʻailoa ()
lolomi(f”Fua fa'atatau o le fa'asolosolo: b0 = {b0}, b1 = {b1}”)
""
I'uga
O le metotia o le least squares o se faavae malosi ma taua i fuainumera ma le auiliiliga o faamatalaga. O lona gafatia e faaitiitia ai mea sese ma faateleina ai le fetaui lelei o le faataitaiga e matua aoga tele ai i le tele o vaega, mai le tamaoaiga i le inisinia ma le faasaienisi lautele. E ui o le manatu autu e faigofie, ae e mafai ona faalauteleina le metotia i faataitaiga e sili atu ona faigata e pei o le nonlinear regression, mixed-effects models, ma le machine learning. Faatasi ai ma se malamalamaga lelei i le metotia o le least squares ma le lava o le faataitai, e mafai ona tatou faaleleia atili le sa'o o a tatou auiliiliga o faamatalaga ma faia ni faaiuga sili atu ona malamalama.
Faʻamoemoe o lenei tusiga e tuʻuina atu ai se aotelega manino ma atoatoa o le metotia least squares ma ona faʻaoga.
