Metotia Trapezoidal i Integrals
I le matematika fa'aoga, e masani ona tatou fetaia'i ma le fa'afitauli o le fuafuaina o le eria i lalo o se pi'o. I le fa'avae fa'avae, e mafai ona foia lenei mea e ala i le fa'aaogaina o integrals mautinoa. Peita'i, i le fa'atinoga, e le faigofie ona tu'ufa'atasia galuega uma i se auala fa'ata'ita'i. O nisi galuega e faigata, e na'o le fa'atulagaga tabular e maua ai fa'amatalaga, pe leai ni antiderivatives faigofie i fa'ata'ita'iga. I tulaga fa'apenei, e taua tele metotia fa'afuainumera. O se tasi o metotia fa'afuainumera e sili ona lauiloa ma fa'aaogaina soo o le tulafono trapezoidal, o se metotia fa'atatau mo integrals e vaevaeina ai le eria i lalo o se pi'o i ni foliga trapezoidal.
Manatu Faavae o le Fa'au'uga Mautinoa
I le fa'ata'ita'iga fa'a-geometrical, e mafai ona malamalama i le integral mautinoa \(\int_a^bf(x)\,dx\) o le eria e fa'atapula'aina e le pi'o \(y=f(x)\), le \(x\) axis, ma laina fa'atulagaina \(x=a\) ma le \(x=b\). Afai o le \(f(x)\ge 0\), o le integral o se eria lelei. Afai e iai ni tau leaga o le galuega faatino i luga o se va'aiga patino, e maua e le integral se "eria fa'ailogaina".
O le faʻafitauli autu e tulaʻi mai pe a:
1. E leai se antiderivative o le galuega faatino \(f(x)\) e mafai ona fa'aalia e galuega faatino autu.
2. E na'o nisi taimi e iloa ai le taua o le \(f(x)\) (fa'amaumauga fa'ata'ita'i).
3. E lē lelei pe lē mafai foʻi ona faia le faʻatusatusaga faʻatusa.
O iinei e faʻaaogaina ai le metotia trapezoidal e faʻatatau ai le tau faʻatasi e ala i le faʻaaogaina o tau o galuega faatino i nisi o vaega.
Manatu o le Metotia Trapezoidal
E amata le metotia trapezoidal i se manatu faigofie: fa'atatau se pi'o i se laina sa'o i vaega ta'itasi o le vaeluaga. E ui o le metotia a Riemann e fa'aogaina ai itu fa'atulagaina ma se vaega fa'atafafā, ae o le metotia trapezoidal e fa'aogaina ai ni pito se lua i luga o le vaeluaga ma fa'afeso'ota'i i la'ua i se laina sa'o. O le vaega i lalo o le laina sa'o e fausia ai se trapezoid, ae le o se fa'atafafā.
Faapea tatou te manaʻo e fuafua:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
Matou te vaevaeina le vaeluaga \([a,b]\) i ni \(n\) vaega laiti e tutusa le umi. O le umi o vaega laiti taitasi e faapea:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Vaevaega o vaega:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\dots,\;x_n=b
\]
Faatasi ai ma taua o galuega faatino:
\[
f(x_0), f(x_1), \dots, f(x_n)
\]
I vaeluaga taitasi \([x_{i-1}, x_i]\), o le eria i lalo o le pi'o e fa'atatauina e vaega o se trapezoid:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Ona maua lea o le aofaʻi atoa (faʻatusatusaga tuʻufaʻatasi) e ala i le faʻaopoopoina o trapezoids uma:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Afai e fa'amamāina, o le fua fa'atatau o le tulafono trapezoidal fa'atasi e avea ma:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Ia matau le mamanu o le coefficient: o pito i tua \(x_0\) ma le \(x_n\) e fa'ateleina i le 1, a'o pito i le ogatotonu e fa'ateleina i le 2.
Fa'ata'ita'iga Faigofie o le Fa'atusatusaga
Faapea tatou te fia faalatalata atu i:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
I le auiliiliga, o le integral o le \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Ae ui i lea, o le a matou faʻaaogaina le metotia trapezoidal ma le \(n=4\).
1. Vaitaimi \([0,2]\), ona:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Taua o le galuega faatino:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Fa'aaoga le fua fa'atatau o le trapezoid tu'ufa'atasi:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
O le iʻuga e tusa ma le 2,75 e matuā latalata lava i le tau tonu o le 2,6667, faatasi ai ma se mea sese e tusa ma le 0,0833.
Sese i le Metotia Trapezoidal
O le metotia trapezoidal o se metotia fa'atatau, o lona uiga e iai lava se eseesega i le va o le tau fa'atatau ma le tau moni o le integral. O le tele o le mea sese e a'afia e:
1. Numera o vaeluaga laiti \(n\): o le tele \(n\), o le laʻititi \(h\), ma e masani lava o le saʻo atili o taunuuga.
2. Pi'o o le galuega faatino: afai e matua pi'o lava le galuega faatino (e tele sona fa'asologa lona lua), e ono le sa'o lelei le metotia trapezoidal nai lo metotia maualuluga.
Mo galuega faatino e lava le lamolemole (e iai ni fa'asologa lona lua faifai pea), e mafai ona fa'atatauina le sese o le metotia trapezoidal fa'aputuga:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
mo nisi \(\xi\) i le va o \(a\) ma le \(b\). Mai lenei fua fa'atatau e mafai ona iloa ai o le mea sese e tutusa ma le \(h^2\). O lona uiga, afai tatou te vaeluaina le \(h\) i le afa (o lona uiga, faaluaina le numera o vaega laiti), e fa'aitiitia le mea sese i le tusa ma le kuata.
Fa'amanuiaga o le Metotia Trapezoidal
E lauiloa le metotia trapezoidal mo ni mafuaaga se tele:
1. Faigofie ma vave
E faigofie lava le fuafuaina, ma e oo lava i mataupu laiti e mafai ona faia e ala i le lima.
2. Talafeagai mo faʻamaumauga faʻatulagaina
Afai e na'o ni vaega tu'ueseese (e pei o taunuuga o le fuaina) e iloa ai le tau o le \(f(x)\), e mafai ona fa'aoga sa'o lenei metotia.
3. Sa'o lelei nai lo le metotia fa'atafafā
Ona e faʻaaogaina ai ni faʻaiʻuga se lua ma faʻatatau i le galuega faatino i se laina saʻo, e masani lava ona sili atu le saʻo nai lo le faʻatatauga faʻatafafā mo le aofaʻi tutusa o vaevaega.
4. Malu mo le toatele talosaga fa'ainisinia
E tele fa'afitauli o le fisiki ma le inisinia (e pei o le fuafuaina o le galuega, malosi, eria o le vaega fa'alava, fa'asa'olotoina o le eletise, ma isi mea fa'apena) e mafai ona foia e ala i lenei metotia.
Tapula'a o le Metotia Trapezoidal
E ui i le aoga, ae o lenei metotia e iai ona tapulaa:
1. E le sa'o tele mo galuega fa'atino e matua pi'o lava
Talu ai e na'o le fa'aogaina o se fa'atusatusaga fa'asolosolo i vaega ta'itasi, o galuega fa'atino e vave ona suia pe ma'ai fo'i pi'oga e mana'omia ai se \(n\) tele.
2. E lē o se metotia maualuga
O mea sese o le faasologa o le \(h^2\); o isi metotia e pei o Simpson's e ono maua ai ni mea sese laiti i luga o le aofaiga tutusa o vaega laiti (pe afai e lava le lamolemole o le galuega faatino).
3. Maaleale i le filifiliga o le vaeluaga
Afai e lautele tele le va ma e laʻititi le \(n\), e mafai ona matuā ese lava taunuuga.
Fa'ato'a
O le metotia o le tu'ufa'atasiga trapezoidal o se tasi o metotia sili ona taua i le tu'ufa'atasiga fa'afuainumera. I le vaevaeina o se vaeluaga i ni vaega laiti ma sui le pi'o i se laina sa'o i vaega ta'itasi, e mafai ona tatou fa'atatauina le tu'ufa'atasiga e aunoa ma le su'eina fa'ata'ita'i o le antiderivative. O le fua fa'atatau e faigofie, faigofie ona fa'atino, ma e aoga tele pe a fa'apitoa fa'amatalaga pe faigata ona tu'ufa'atasia le galuega faatino.
Peita'i, e mana'omia e tagata fa'aoga o le metotia trapezoidal ona ua'i atu i le aofa'i o vaega laiti ma le amioga o le galuega faatino o lo'o tu'ufa'atasia. Mo galuega faatino e matua pi'o pe a mana'omia le sa'o maualuga, e mafai lava ona fa'aogaina le metotia trapezoidal e ala i le fa'ateleina o le \(n\), pe mafai fo'i ona mafaufauina isi metotia fa'afuainumera e pei o metotia a Simpson po'o Romberg. A malamalama lelei, e avea le metotia trapezoidal ma meafaigaluega aoga ma aoga mo le fo'ia o fa'afitauli eseese o le tu'ufa'atasia i le saienisi, inisinia, ma le tamaoaiga.
