Faʻatasi
O integrals o se manatu faavae i le calculus, e fesoʻotaʻi vavalalata ma derivatives. E ui o derivatives e faʻamatalaina le suiga o le slope poʻo le slope o se curve i se tulaga faapitoa, ae o integrals, i le isi itu, e aofia ai le vaega atoa i lalo o le curve i se va o se taimi faapitoa. O integrals o meafaigaluega taua i le matematika, fisiki, inisinia, ma le tele o isi matāʻupu. O lenei tusiga o le a talanoaina auiliili ai le manatu o integrals, e aofia ai lo latou talafaasolopito, faʻamatalaga, ituaiga o integrals, faʻaoga, ma nisi faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli o integrals.
Talafaasolopito Tuufaatasi
Na faʻalauiloa muamua e saienitisi Eleni anamua ia integrals e ala i le metotia o le exhaustion na atiaʻe e Eudoxus ma mulimuli ane faʻalauiloaina e Archimedes. Peitaʻi, o le atinaʻeina o integrals faʻaonaponei e mafai ona toe suʻesuʻeina i tua i le seneturi lona 17 faʻatasi ai ma galuega a Isaac Newton ma Gottfried Wilhelm Leibniz. E ui ina galulue tutoʻatasi Newton ma Leibniz, ae na atiaʻe le calculus lea na aofia ai integrals ma derivatives, o ni manatu se lua e fesoʻotaʻi ma le Fundamental Theorem of Calculus. O lenei theorem o loʻo taʻu mai ai o le integration ma le differentiation o ni inverse operations.
Na faʻaaogā e Newton ni integrals i le tulaga o le fisiki e fuafua ai le eria i lalo o se piʻo e faʻatusalia ai le suiga o le saoasaoa i le taimi, o se manatu taua i le mekanika masani. I le isi itu, na atiina ae e Leibniz le faʻailoga integral ∫ lea tatou te faʻaaogaina i aso nei, e maua mai le mataʻitusi uumi "s," faʻapuʻupuʻu mo le summa (Latina mo le "aofaʻi").
Fa'amatalaga o le Integral
O le integral o se galuega faatino e mafai ona mafaufauina o se "anti-derivative." I le tulaga aloaia, e lua ituaiga o integral e masani ona faʻaaogaina: le integral le mautinoa ma le integral mautinoa.
Fa'atasiga e le Ma'oti
O le integral lē mautinoa o se galuega faatino f(x) o le galuega faatino F(x) o lona derivative o le F(x) o le f(x). O lona fa'ailoga ua tusia fa'apenei:
∫ f(x) dx = F(x) + C
lea o C o se tumau o le tu'ufa'atasiga lea e mana'omia ona o le derivative o se tumau e zero. O se fa'ata'ita'iga faigofie o se tu'ufa'atasiga le mautinoa o le:
∫ 2x dx = x² + C
Fa'atasiga Mautinoa
O le fa'ai'uga mautinoa o se galuega fa'atino f(x) mai le a i le b e fa'amatalaina ai le eria i lalo o le pi'o mai le x = a i le x = b. Ua tusia fa'apenei:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
lea o le F(x) o le antiderivative o le f(x). Mo se faʻataʻitaʻiga:
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
Ituaiga o Mea Fa'aputu
I le fa’aopoopoga i fa’avae taua o lo’o talanoaina i luga, e iai fo’i isi ituaiga eseese o fa’avae taua e fa’aaogaina i le matematika ma fa’atinoga fa’atino. O nisi o nei mea o:
Fa'atasiga Fa'alua
O le fa'ai'uga fa'alua e aofia ai le fa'ai'uga i luga o fesuia'iga e lua pe sili atu. E masani ona fa'aaogaina i le calculus multidimensional e fuafua ai voluma o lalo o le fogaeleele po'o tau numera mo galuega tauave o fesuia'iga e lua pe sili atu. O fa'ata'ita'iga e aofia ai:
∫∫_R f(x,y) dA
Lebesgue Integral
O le integral Lebesgue o se fa'alauteleina lea o le integral Riemann e fa'aaogaina e taulima ai galuega fa'atino e matua le masani ai. E taua tele lenei integral i le au'ili'iliga moni ma le teoria o le avanoa.
Fa'atasiga o le Laina
O le line integral e tu'ufa'atasia ai se galuega fa'atino i luga o se pi'o po'o se ala ua tu'uina atu i totonu o se va'alele po'o se avanoa. E matua aoga lava i le fisiki ma le inisinia mo le fuafuaina o le galuega e faia e se malosi i luga o se ala ua tu'uina atu.
∫_C F · dr
Fa'atasiga o le Laupapa
E suia e le surface integral le double integral e faʻaaoga i luga o le vateatea e tolu-dimensional. E masani ona faʻaaogaina i le electrodynamics ma le fluid mechanics.
∫∫_S f(x,y,z) dS
Fa'aoga Fa'atasi
E tele fa'aoga o integrals i matā'upu eseese o le saienisi. O nisi o fa'aoga taua e aofia ai:
Fisiki
I le fisiki, e masani ona faʻaaogaina integrals e fuafua ai le galuega, le malosi, ma isi tele o mea faʻaletino. Mo se faʻataʻitaʻiga, e faʻaaogaina integrals e fuafua ai le galuega e faia e se malosi i le gaioiga o se vaega:
W = ∫ F(x) dx
E taua fo'i mea taua i le sailia o le mamafa, ogatotonu o le mamafa, le taimi o le inertia, ma le tufatufaina atu o le mamafa i mea faaletino.
Fa'amaumauga
I fuainumera ma le teoria o le avanoa, e faʻaaogaina integrals e fuafua ai avanoa ma faʻamoemoega o tufatufaga eseese o avanoa. O se faʻataʻitaʻiga o le fuafuaina lea o le avanoa faʻaputu o se fesuiaʻiga faʻafuaseʻi faifai pea:
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
ekonomi
I le tamaoaiga, e faʻaaogaina integrals e fuafua ai le aofaʻi o tupe mama, tau, ma le faʻasiliga a le tagata faʻatau/gaosimea. Mo se faʻataʻitaʻiga, e fuafua ai le aofaʻi o tau i le tulaga o le tau faʻatapulaʻa:
Tau Aofa'i = ∫ MC(q) dq
tau masini
I le inisinia, e masani ona faʻaaogaina integrals i le suʻesuʻeina o le mamafa, faʻaleagaina o foliga, ma le fesiitaiga o le vevela. E faʻaaogaina foʻi e le inisinia pulea integrals mo faiga faʻatonutonu integral i totonu o PID (Proportional-Integral-Derivative) controllers.
Fa'ata'ita'iga o Fa'afitauli Fa'atasi
O nisi nei o faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli tuʻufaʻatasi ma a latou fofo:
Faʻataʻitaʻiga 1: Faʻatulagaga e le Mautinoa
Saili le integral lē mautinoa o le f(x) = 3x²:
∫ 3x² dx
fofo:
E mafai ona foia lenei integral e faʻaaoga ai le tulafono faavae o le integral. Tatou te faʻaopoopoina le tasi i le exponent ona vaevae lea i le exponent fou:
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
Faʻataʻitaʻiga 2: Faʻatulagaga Mautinoa
Saili le eria i lalo o le pi'o f(x) = 2x mai le 1 i le 4:
∫[1,4] 2x dx
fofo:
Muamua, tatou te sailia le antiderivative o le 2x, o le x² lea. Ona tatou faʻaaogaina lea o tapulaʻa maualalo ma tapulaʻa maualuga:
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
I'uga
O integrals o ni manatu taua i le calculus, e pu'eina ai le manatu o le eria i lalo o se pi'o ma ona fa'aoga eseese. Mai lo latou talafaasolopito i Eleni anamua i atina'e taua a Newton ma Leibniz, i o latou ituaiga eseese ma fa'aoga i le saienisi ma le inisinia, e iai le sao taua o integrals i le fa'avae fa'amatematika fa'aonaponei. O le malamalama i integrals e le gata ina fesoasoani ia i tatou e foia fa'afitauli fa'amatematika ae e tatala ai fo'i ni malamalamaga i a latou fa'aoga eseese i le olaga i aso faisoo ma le lalolagi fa'apolofesa.
