Ulutala: Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga o Fa'atusatusaga o Laina Tangent i Pi'o
Pendahuluan
O le fua fa'atatau o le tangent i se pi'o o se manatu taua i le matematika, aemaise lava le calculus ma le analytic geometry. O le tangent i se pi'o o se laina e pa'i atu i le pi'o i se tulaga patino e aunoa ma le sopo'ia. O lenei laina e tutusa le fa'asolo ma le pi'o i lena tulaga. O lenei tusiga e fa'amoemoe e tu'uina atu fa'ata'ita'iga ma talanoaga o le fua fa'atatau o le tangent i se pi'o, ina ia mafai e le au faitau ona malamalama loloto i lenei manatu.
Fa'amatalaga ma Manatu Fa'avae
A o le’i oo atu i fa’ata’ita’iga o fa’afitauli, o se manatu lelei le toe iloiloina o nisi o manatu fa’avae. O le fua fa’atatau o le laina tangent i se pi’o \( y = f(x) \) i le tulaga \((a, f(a))\) e mafai ona fuafuaina e fa’aaoga ai le ulua’i derivative o le galuega faatino. O la’asaga lautele e fa’apea:
1. Fuafuaina o le Fa'aliliuga o se Galuega Fa'atino: Saili le fa'aliliuga muamua \( f'(x) \) o le galuega fa'atino \( f(x) \).
2. Fuafuaina o le Gradient (Slope): Sui le tau \( x = a \) i totonu o le first derivative \( f'(x) \) e maua ai le slope o le tangent line i le tulaga \( a \).
3. Fuafua le Fa'atusatusaga o le Laina Tangent: Faaaoga le tulaga \((a, f(a))\) ma le fa'asolo ua e mauaina e fausia ai le fa'atusatusaga o le laina tangent. E mafai ona tusia le fa'atusatusaga o le laina i le tulaga \( y – y_1 = m(x – x_1) \), lea o le \((x_1, y_1)\) o se tulaga i luga o le laina ma le \( m \) o le fa'asolo.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Se’i o tatou talanoaina ni fa’ata’ita’iga o fesili e fa’amanino ai lo tatou malamalama.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
I le tuuina atu o le pi'o \( y = x^2 + 2x + 1 \). Fuafua le fua faatatau o le laina tangent i le pi'o i le tulaga e iai le abscissa \( x = 1 \).
Talanoaga:
1. Fuafua le Fa'asologa Muamua:
\[
y = x^2 + 2x + 1
\]
O le ulua'i fa'aliliuga o le \( y \) e fa'apea:
\[
\frac{dy}{dx} = 2x + 2
\]
2. Fuafua le gradient i le \( x = 1 \):
Sui le \( x = 1 \) i le ulua'i fa'aliliuga:
\[
m = 2(1) + 2 = 4
\]
3. Fuafuaina o le Point of Tangency:
Saili le tau o le \( y \) i le \( x = 1 \):
\[
y = (1)^2 + 2(1) + 1 = 4
\]
O le tulaga o le tangency la o le \( (1, 4) \).
4. Fuafuaina o le Fa'atusatusaga o le Laina o le Tangent:
Faaaoga le fua fa'atatau o le laina \( y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 4 = 4(x – 1)
\]
Fa'afaigofie:
\[
y – 4 = 4x – 4
\]
\[
y = 4x – 4 + 4
\]
\[
y = 4x
\]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent o le \( y = 4x \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
I le tuuina atu o le pi'o \( y = \cos(x) \). Fuafua le fua faatatau o le laina tangent i le pi'o i le tulaga e iai le abscissa \( x = \frac{\pi}{2} \).
Talanoaga:
1. Fuafua le Fa'asologa Muamua:
\[
y = \cos(x)
\]
O le ulua'i fa'aliliuga o le \( y \) e fa'apea:
\[
\frac{dy}{dx} = -\sin(x)
\]
2. Fuafua le gradient i le \( x = \frac{\pi}{2} \):
Suitulaga \( x = \frac{\pi}{2} \) i le ulua'i fa'aliliuga:
\[
m = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1
\]
3. Fuafuaina o le Point of Tangency:
Saili le tau o le \( y \) i le \( x = \frac{\pi}{2} \):
\[
y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
O le tulaga o le tangency la o le \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \).
4. Fuafuaina o le Fa'atusatusaga o le Laina o le Tangent:
Faaaoga le fua fa'atatau o le laina \( y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 0 = -1\left(x – \frac{\pi}{2}\right)
\]
\[
y = -x + \frac{\pi}{2}
\]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent o le \( y = -x + \frac{\pi}{2} \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
I le tulaga o le pi'o \( y = e^x \). Fuafua le fua fa'atatau o le laina tangent i le pi'o i le tulaga e iai le abscissa \( x = 0 \).
Talanoaga:
1. Fuafua le Fa'asologa Muamua:
\[
y = e^x
\]
O le ulua'i fa'aliliuga o le \( y \) e fa'apea:
\[
\frac{dy}{dx} = e^x
\]
2. Fuafua le gradient i le \( x = 0 \):
Sui le \( x = 0 \) i le ulua'i fa'aliliuga:
\[
m = e^0 = 1
\]
3. Fuafuaina o le Point of Tangency:
Saili le tau o le \( y \) i le \( x = 0 \):
\[
y = e^0 = 1
\]
O le tulaga o le tangency la o le \( (0, 1) \).
4. Fuafuaina o le Fa'atusatusaga o le Laina o le Tangent:
Faaaoga le fua fa'atatau o le laina \( y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 1 = 1(x – 0)
\]
\[
y – 1 = x
\]
\[
y=x+1
\]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent o le \( y = x + 1 \).
Fa'ato'a
I le malamalama i le auala e fuafua ai le fua faatatau o se laina tangent i se pi'o, e mafai ona tatou malamalama atili ai i le auala e galulue faatasi ai le geometry ma le algebra e su'esu'e ai uiga o pi'o. O la'asaga lautele o le sailia lea o le derivative, fuafuaina o le slope, ma le fausiaina o le fua faatatau o le laina tangent e fa'atatau i togi ma le slope ua maua. O le tele o le fa'ata'ita'i, o le loloto foi lea o lo tatou malamalama i lenei autu. Manuia le a'oa'oina!
