Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o le Fa'aogaina o Integrals i le Fuafuaina o le Eria o se Va'alele Mafolafola
I le aoaoina atu o le matematika, e masani ona maua ni integrals i le calculus. O se tasi o faʻaoga sili ona lauiloa o integrals o le fuafuaina lea o le eria i lalo o se piʻo poʻo se vaalele. O lenei tusiga o le a talanoaina ai ni faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli ma talanoaina ai le faʻaogaina o integrals i le fuafuaina o le eria o se vaalele.
Folasaga i le A'oa'oga
A o le’i agai atu i le fa’ata’ita’iga o le fa’afitauli, se’i o tatou toe iloilo le manatu autū o le fuafuaina o le eria i lalo o se pi’o e fa’aaoga ai fa’avaega. Afai e iai sa tatou galuega fa’atino f(x) e fa’aauau i luga o le va [a, b], o lona uiga o le eria i lalo o le pi’o y = f(x) mai le x = a i le x = b e fa’apea:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
I le fa'ata'ita'iga fa'a-geometric, o lona uiga o lo'o tatou fa'aopoopoina le eria o se fa'atafafā manifinifi lava mai le x = a i le x = b.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Soal
Fuafua le eria i lalo o le pi'o y = x² i le vaeluaga [1, 3].
Talanoaga
Mo le fuafuaina o le eria, matou te faʻaaogaina le integral:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Tatou amata i le sailia o le antiderivative o le \( x^2 \). O le antiderivative o le \( x^2 \) o le \( \frac{x^3}{3} \). Ona avea lea o le integral ma:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Ia manatua e tatau ona tatou iloiloina le antiderivative i luga o tapula'a o le integral:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \taumatau) – \left( \frac{1^3}{3} \taumatau) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
O lea la, o le eria i lalo o le pi'o y = x² mai le x = 1 i le x = 3 e faapea:
\[ \frac{26}{3} \, \text{iunite o le eria} \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Soal
Fuafua le eria o le itulagi o loʻo faʻatapulaʻaina e le piʻo y = x³ ma laina x = 1 ma le x = 2.
Talanoaga
Mo le fuafuaina o le eria, matou te faʻaaogaina le integral:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
E pei ona masani ai, tatou te amata i le sailia o le antiderivative o le \( x^3 \). O le antiderivative o le \( x^3 \) o le \( \frac{x^4}{4} \). O le integral e avea ma:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Iloilo tapula'a o le integral:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \taumatau) – \left( \frac{1^4}{4} \taumatau) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
O lea la, o le eria i lalo o le pi'o y = x³ mai le x = 1 i le x = 2 e faapea:
\[ \frac{15}{4} \, \text{iunite o le eria} \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Soal
Fuafua le eria o le itulagi o loʻo faʻatapulaʻaina e piʻo y = x² + 1 ma le y = 2x + 2 i le va o le x = 0 i le x = 1.
Talanoaga
Muamua, e manaʻomia ona tatou sailia nofoaga e feiloaʻi ai e iloa ai tapulaʻa o le tuʻufaʻatasiga. O le tali i le \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau fa'atafafā:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Peita'i, mo tapula'a pito i luga ma pito i lalo i le va o le 0 ma le 1, e le mana'omia ona tatou fa'aogaina le fofo fa'atafafā, na'o le tapula'a fa'atasi masani o le 0 i le 1. Sosoo ai, fuafua le lautele o le pi'o pito i luga y to'esea le pi'o pito i lalo y e tusa ai ma nei tapula'a:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Fa'afaigofieina o galuega:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Sosoo ai, matou te maua le antiderivative:
O le antiderivative o le \( (-x^2) \) o le \( -\frac{x^3}{3} \),
O le antiderivative o le \( (2x) \) o le \( x^2 \),
O le antiderivative o le \( (1) \) o le \( x \).
O lena la,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Iloiloga e sosoo ai:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \taumatau] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \taumatau] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \taumatau] – \left[ 0 \taumatau] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
O lea la, o le eria o le itulagi o loʻo faʻatapulaʻaina e piʻo y = x² + 1 ma le y = 2x + 2 i luga o le vaeluaga [0, 1] e:
\[ \frac{5}{3} \, \text{iunite o le eria} \]
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Mai faʻataʻitaʻiga o loʻo i luga, e mafai ona tatou vaʻaia pe faʻapefea ona faʻaaogaina integrals e fuafua ai le eria i lalo o se piʻo poʻo le va o piʻo e lua. Faatasi ai ma se malamalamaga lelei i manatu faavae o integrals ma metotia antiderivative, o le fuafuaina o nei eria e matua faʻatulagaina ma lelei. E faʻamoemoe o lenei tusiga ua faʻateleina ai lo tatou malamalama i le faʻaaogaina o integrals i le lalolagi moni, aemaise lava i le matata o le fuaina o le eria o luga o le eleele.
