Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga o le Exponential Decay
O le fa'aleagaina o le fa'asolo o se mea masani e maua i matā'upu eseese e pei o le fisiki, kemisi, paiolo, ma le tamaoaiga. I le avea ai o se fa'ata'ita'iga fa'amatematika, o le fa'aleagaina o le fa'asolo e fa'amatalaina ai le fa'agasologa e fa'aitiitia ai se aofa'iga tu'uina atu e tusa ai ma lona aofa'iga o lo'o iai nei. I le matematika, o le fa'aleagaina o le fa'asolo e mulimuli i le fa'atulagaga lautele:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
di mana:
– \( N(t) \) o le aofaʻi o totoe i le taimi \(t \),
– \( N_0 \) o le numera muamua lea,
– \( \lambda \) o le fa'amaufa'ailoga o le pala (e masani ona ta'ua o le fua faatatau o le pala),
– \( t \) o le taimi,
– \( e \) o le fa'avae lea o le logarithm masani (pe tusa ma le 2.718).
I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai nisi o faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli o le pala faʻafuaseʻi faʻatasi ai ma a latou fofo e fesoasoani ai e malamalama atili ai i lenei manatu.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Pala o le Radioactive
Fesili:
E 5 tausaga le afa-ola o se mea e fa'avevela ai le radiation. Afai e 100 kalama i le amataga o le mea, e fia le tele o le a totoe pe a mavae le 15 tausaga?
Talanoaga:
E mafai ona fa'ata'ita'iina le pala o le radioactive e fa'aaoga ai le fua fa'atatau o le pala fa'atelevave. O le afa-ola (\( t_{1/2} \)) o le taimi e mana'omia mo le afa o le aofa'i o mea radioactive e pala ai. Ua iloa o le \( t_{1/2} = 5 \) tausaga.
Muamua e manaʻomia ona tatou sailia le decay constant \( \lambda \) faʻatasi ai ma le fua faʻatatau:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ tausaga}^{-1} \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le fa'aleagaina o le exponential e fa'apea:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
O le taimi nei, matou te fuafuaina le taua:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \times 0.125 \]
\[ N(t) \approx 12.5 \text{ kalama} \]
O lea la, a mavae le 15 tausaga, e tusa ma le 12.5 kalama o mea fa'aolaola e totoe.
Faataitaiga 2: Pala o le Capacitor
Fesili:
O se capacitor e iai se totogi muamua \( Q_0 = 200 \text{ C} \) e fa'atagaina e fa'ate'a ese i totonu o se matagaluega. O le taimi e tumau o le \( \tau = 4 \text{ s} \). E fia le totogi e totoe pe a uma le 10 sekone?
Talanoaga:
I le tulaga o le pala o le totogi o le capacitor, o le faʻataʻitaʻiga faʻatelefoni e faʻaaogaina o le:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
I le tuuina atu o le \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ma le \( \tau = 4 \text{ s} \). E manaomia ona tatou sailia le \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Fuafuaina o tau fa'atelevave:
\[ Q(10) = 200 \times 0.0821 \]
\[ Q(10) \approx 16.42 \text{ C} \]
O lea la, a maeʻa le 10 sekone, o le totogi o totoe i luga o le capacitor e tusa ma le 16.42 C.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Pala o le Kemikolo
Fesili:
O se vailaʻau e iai le tumau o le pala o le \( \lambda = 0.05 \text{ aso}^{-1} \). O le a le umi e alu ai seʻia faʻaitiitia le vailaʻau i le 25% o lona aofaʻi muamua?
Talanoaga:
Tatou amata i le fua fa'atatau lautele mo le fa'aitiitia o le exponential:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
Matou te manaʻo ia avea le N(t) ma le 25% o le \( N_0 \), ina ia:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Aveesea o le \( N_0 \) mai itu uma e lua:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Faʻaaogaina o logarithm masani e foia ai mataupu faʻatelefoni:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Foia mo le \( t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \approx 27.726 \text{ aso} \]
O lea la, o le taimi e manaʻomia e faʻaitiitia ai le vailaʻau i le 25% o lona aofaʻi muamua e tusa ma le 27.726 aso.
Fa'ata'ita'iga Fesili 4: Fa'aitiitia o le Faitau aofa'i o siama
Fesili:
E fa'aitiitia le faitau aofa'i o siama i se fua fa'atatau tele, o lea a mae'a le 3 itula, e afa le faitau aofa'i o lo'o i ai i le aofa'i muamua. Afai o le faitau aofa'i muamua e 8000 siama, e fia siama o totoe pe a mae'a le 9 itula?
Talanoaga:
Ua iloa o le afa-ola \( t_{1/2} = 3 \) itula. Muamua tatou te maua le pala tumau \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ itula}^{-1} \]
A maeʻa lena, matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau o le exponential decay:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
Fuafuaina o tau fa'atelevave:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \times 0.125 \]
\[ N(9) \pe tusa ma le 1000 \]
O lea la, a mavae le 9 itula, e tusa ma le 1000 siama o le a totoe.
I'uga
O le faʻataʻitaʻiga o le faʻaleagaina o le exponential e maua ai se auala lelei e foia ai faʻafitauli e fesoʻotaʻi ma faiga o le faʻaleagaina i le tele o faʻaoga faasaienisi ma inisinia. I le malamalama i manatu faʻavae e pei o le faʻamautu o le faʻaleagaina, afa-ola, ma le faʻaaogaina o fua faʻatatau faʻateleina, e mafai ona tatou fuafuaina le suiga o se aofaʻiga i le aluga o taimi ma le faigofie. O faʻafitauli faʻataʻitaʻi o loʻo talanoaina i luga e tatau ona fesoasoani ia i tatou e malamalama ma faʻaaoga le manatu o le faʻaleagaina o le exponential i tulaga e sili atu ona faigata.
