Fa'ata'ita'iga o Fesili Talanoaga o le Metotia o le Least Squares
O le Least Squares Method (LEM) o se metotia fa'amaufa'ailoga e fa'aaogaina e su'e ai le laina sili ona fetaui e sili ona lelei e vavalo ai fa'amaumauga. E masani ona fa'aaogaina lenei metotia i le au'ili'iliga o le linear regression e iloa ai le sootaga i le va o fesuia'iga tuto'atasi ma fesuia'iga fa'alagolago. O lenei tusiga o le a aofia ai manatu fa'avae o le metotia least squares, fa'atasi ai ma fa'ata'ita'iga ma fa'amatalaga ta'itasi mo se malamalamaga loloto i le fa'aogaina o lenei metotia.
Manatu Fa'avae o le Metotia o le Least Squares
O le sini o le metotia o le least squares o le faʻaitiitia lea o le aofaʻi o sikuea o eseesega i le va o tau na matauina ma tau na valoia e le faʻataʻitaʻiga regression. O le fua faʻatatau o se laina regression linear faigofie e mafai ona tusia e pei ona taua i lalo:
\[ y = a + bx \]
O fea:
– \( y \) o le fesuia'iga fa'alagolago,
– \( x \) o le fesuiaʻiga tutoʻatasi,
– \( a \) o le intercept (o le tau o le \( y \) pe a \( x = 0 \)),
– \( b \) o le fa'asolo o le laina (fa'asolo, po'o le coefficient regression).
O le metotia o le least squares e fuafua ai parakalafa \( a \) ma le \( b \) e fa'aitiitia ai le galuega faatino lenei:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
Afai o le SSE o le Aofa'i o Mea Sese Fa'atafafa, \( y_i \) o le tau moni lea, ma \( \hat{y_i} = a + bx_i \) o le tau na valoiaina.
Laasaga o le Metotia o le Fa'atafafā La'ititi
Mo se faamaninoga o le manatu, o le a tatou foia se faataitaiga o se faafitauli e aofia ai le faaaogaina o le metotia o le least squares.
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli
I le tu'uina atu o fa'amatalaga nei:
| x (Itula o suʻesuʻega) | y (Togi o le suʻega) |
|———————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Fuafua le laina fa'asolosolo fa'asolosolo e sili ona fetaui ma fa'amaumauga.
Talanoaga
1. Fuafuaina o le Averesi o \( \bar{x} \) ma le \( \bar{y} \)
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Fuafuaina o le Parakalafa \( b \) (Mauga)
O le parakalafa \( b \) e fuafuaina e ala i le:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
Fuafuaina o vaega taʻitasi:
\[
\aofa'i (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\aofa'i (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
O lena la:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Fuafuaina o le Parameter \( a \) (Intercept)
Fa'aaogaina le averesi o le \( \bar{x} \) ma le \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Tusiaina o le Fa'atusatusaga o le Laina Fa'asolosolo
Faatasi ai ma parakalafa ua maua, e mafai ona tatou tusia le fua faatatau o le laina regression:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Fa'amatalaga ma Fa'amaoniga
Ina ia mautinoa e fetaui lelei lenei laina regression, e mafai ona tatou fuafuaina le y-value ua valoia (\(\hat{y}\)) mo x taitasi i le uluai faamatalaga, faapea foi ma le fuafuaina o le Sum of Squared Errors (SSE) e faamaonia ai le sa'o o le valo'aga.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|—————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSE:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Faatasi ai ma se SSE laitiiti, e mafai ona tatou faaiuina o le laina regression na gaosia e le metotia least squares e talafeagai lelei mo nei faamatalaga.
I'uga
O le Metotia o le Least Squares o se meafaigaluega malosi mo le au'ili'iliga fa'amaumauga mo le fuafuaina o le laina sili ona fetaui mo se fa'amaumauga, ma fa'aitiitia ai le sese o le vavalo e fa'avae i luga o le sikuea o le eseesega. I le fa'aaogaina o la'asaga o le fuafuaina o le averesi, fa'atatauina o le fa'ase'e ma le intercept, ma le tusiaina ma le fa'amaoniaina o le fua fa'atatau o le laina regression, e mafai ona tatou vavalo ma le sa'o le tau o le fesuia'iga fa'alagolago mai fesuia'iga tuto'atasi.
O se malamalamaga lelei i lenei metotia e matuā aogā tele i matāʻupu e pei o le tamaoaiga, biostatistics, inisinia, ma saienisi lautele lea e masani ona faʻaaogaina ai le auʻiliʻiliga o le regression. O lenei tusiga, faʻatasi ai ma faʻataʻitaʻiga mautu, o loʻo faʻaalia ai le tāua ma le aogā o lenei metotia i le auʻiliʻiliga o faʻamaumauga.
