Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Tapula'a o Galuega Fa'atino Trigonometric
Pendahuluan
O le tapula'a o se galuega faatino o se manatu autū i le calculus, o lo'o fa'amatalaina ai le tau e latalata i ai se galuega faatino pe a latalata atu lona fesuia'iga i se tau patino. I lenei talanoaga, o le a tatou taula'i atu i tapula'a o galuega faatino trigonometric, ia e masani ona aliali mai i le tele o fa'aoga o le matematika, e aofia ai le fisiki, inisinia, ma le saienisi komepiuta.
O galuega faatino trigonometric e pei o le sin(x), cos(x), ma le tan(x) e iai uiga tulaga ese e fa'afiafiaina ai a latou fuafuaga. O lenei tusiga o le a talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli e feso'ota'i ma tapula'a o galuega faatino trigonometric, fa'atasi ai ma fa'amatalaga auiliili.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Tapula'a o le Sine
Fesili:
Fuafua le tapula'a \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x}\).
Talanoaga:
O lenei tapula'a o se tasi o tapula'a fa'avae i le trigonometry ma e masani ona fa'aaogaina i fa'amaoniga ma theorems eseese i le calculus. E mafai ona tatou fa'aaogaina le Tulafono a L'Hôpital po'o le fa'auigaga o se tapula'a e foia ai lenei fa'afitauli.
Faaaogaina o le Faauigaga o Tapulaa:
Ua iloa o le \( \sin x \approx x \) a'o fa'alatalata atu le \( x \) i le 0 (fa'aaogaina le fa'atatauga a Taylor). O le mea lea,
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x}{x} = 1.
\]
Fa'aaogaina o le Tulafono a L'Hopital:
Talu ai o le fa'atulagaga o lenei tapula'a o le \(\frac{0}{0}\), e mafai ona tatou fa'aogaina le Tulafono a L'Hopital e ala i le fa'avasegaina o le numerator ma le denominator.
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{d}{dx} (\sin x)}}{{\frac{d}{dx} (x)}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\cos x}}{1} = \cos(0) = 1.
\]
O lea la, o le taunuuga e 1.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Tapula'a o le Cosine
Fesili:
Fuafua le tapula'a \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2}\).
Talanoaga:
Mo le foia o lenei tapulaʻa, e mafai ona tatou faʻaaogaina faʻasinomaga trigonometric poʻo se auala tuusaʻo ma le Tulafono a L'Hopital.
Fa'aaogaina o Fa'asinomaga Trigonometric:
Tatou te manatua le faasinomaga e faapea:
\[ 1 – \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right). \]
O lea la ua avea le tapula'a ma:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2}.
\]
I le suiga \( u = \frac{x}{2} \), ona suia lea \( x = 2u \) ma le tapulaʻa i le:
\[
\lim_{{u \to 0}} \frac{2 \sin^2(u)}{(2u)^2} = \lim_{{u \to 0}} \frac{2 \sin^2(u)}{4u^2} = \frac{1}{2} \lim_{{u \to 0}} \left( \frac{\sin u}{u} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}.
\]
Fa'aaogaina o le Tulafono a L'Hopital:
O le fomu o le \(\frac{0}{0}\), o lea e mafai ai ona tatou faʻaaogaina le Tulafono a L'Hopital:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}.
\]
O lea la, o le iʻuga o le \( \frac{1}{2} \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Tapula'a o le Tangent
Fesili:
Fuafua le tapula'a \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x}\).
Talanoaga:
O lenei fomu o loʻo i ai le galuega faatino \(\frac{\sin x}{\cos x}\), ma e manaʻomia ai le faʻaaogaina o tapulaʻa faavae na tatou talanoaina muamua.
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x / \cos x}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}
\]
Ua tatou iloa mai le tapulaa faavae e faapea:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = 1.
\]
O lea la, o le taunuuga:
\[
1 \cdot 1 = 1.
\]
O le iʻuga e 1.
Faataitaiga 4: Tapulaʻa Faigata ma le Sine ma le Cosine
Fesili:
Fuafua le tapula'a \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(2x)}{\cos(3x) – 1}\).
Talanoaga:
O le fomu o le \(\frac{0}{0}\), o lea e mafai ai ona tatou faʻaaogaina le Tulafono a L'Hopital:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(2x)}{\cos(3x) – 1} = \lim_{{x \to 0}} \frac{2 \cos(2x)}{-3 \sin(3x)}.
\]
O lenei fomu o le \(\frac{0}{0}\), o lea e mafai ai ona tatou toe faʻaaogaina le Tulafono a L'Hopital:
\[
= \lim_{{x \to 0}} \frac{-4 \sin(2x)}{-9 \cos(3x)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{4 \sin(2x)}{9 \cos(3x)}.
\]
Talu mai le \(\sin(2x) \approx 2x\) ma le \(\cos(3x) \approx 1\) a'o fa'alatalata atu i le 0:
\[
\frac{4 \cdot 0}{9 \cdot 1} = 0.
\]
O le i'uga mulimuli e 0.
I'uga
E ala i faʻataʻitaʻiga eseese o loʻo i luga, e mafai ona tatou vaʻaia pe faʻapefea ona faʻaaogaina auala eseese e fuafua ai tapulaʻa o galuega tauave trigonometric. O le faʻaaogaina o faasinomaga trigonometric, suiga, ma le tulafono a L'Hôpital e mafai ona fesoasoani tele i le foia o faʻafitauli e fesoʻotaʻi ma tapulaʻa.
O se malamalamaga mae'ae'a i tapula'a fa'avae e pei o le \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x} = 1\) ma le metotia o le fa'avasegaina toe fai e taua tele i le calculus. Fa'atasi ai ma le fa'ata'ita'i atili, o le a sili atu ona tomai tamaiti a'oga i le taulimaina o ituaiga eseese o fa'afitauli o tapula'a o galuega fa'atino trigonometric.
