Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o le Manatu o Galuega Fa'atino
O le fa'aliliuga o se galuega faatino o se manatu faavae i le calculus e lautele lona fa'aogaina i matā'upu eseese, e pei o le fisiki, tamaoaiga, ma le inisinia. O lenei tusiga o le a aofia ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaina ai le manatu o le fa'aliliuga o se galuega faatino e maua ai se malamalamaga loloto i lenei autu.
Fa'amatalaga Autū o Mea e Maua Mai Fa'asolo
A o le’i oo atu i fesili fa’ata’ita’i, o se manatu lelei le toe iloilo pu’upu’u o le fa’auigaga ma mea taua o derivatives. O le derivative o se function \( f(x) \) i le tulaga \( x = a \) e faapea:
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
O le galuega faatino \( f'(x) \) e ta'ua o le galuega faatino e maua mai i le \( f(x) \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Fa'asologa Fa'avae o le Polynomial
Fesili:
Saili le ulua'i fua fa'atatau o le galuega faatino \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Talanoaga:
Faaaoga le tulafono faavae o le derivative \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \).
1. Mo \( 3x^3 \):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Mo le \( -5x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Mo \( 2x \):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Mo le \( -7 \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
O lea la:
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Mea e Maua Mai i Galuega Taulima Trigonometric
Fesili:
Saili le ulua'i fa'aliliuga o le galuega faatino \( g(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Talanoaga:
Faaaoga le tulafono o le fua fa'atatau \( \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) fa'atasi ai ma le \( u(x) = \sin(x) \) ma le \( v(x) = \cos(x) \).
1. O le fa'asologa o le \( \sin(x) \) o le \( \cos(x) \), o lea la \( u'(x) = \cos(x) \).
2. O le fua fa'atatau o le \( \cos(x) \) o le \( -\sin(x) \), o lea la \( v'(x) = -\sin(x) \).
Suiga \( u'(x) \) ma le \( v'(x) \):
\[ g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \]
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
O le iʻuga mulimuli:
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Faʻataʻitaʻiga 3: Faʻasologa o le Galuega Faʻatele
Fesili:
Saili le ulua'i fa'aliliuga o le galuega faatino \( h(x) = e^{2x} \).
Talanoaga:
Faaaoga le tulafono o le derivative o le exponential function \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) faatasi ai ma le \( k = 2 \).
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
O le iʻuga mulimuli:
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 4: Fa'asologa o le Galuega Fa'atino Logarithmic
Fesili:
Saili le ulua'i fua fa'atatau o le galuega faatino \( p(x) = \ln(3x + 1) \).
Talanoaga:
Faaaoga le tulafono o le derivative o le logarithmic function \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) faatasi ai ma le \( u(x) = 3x + 1 \).
1. Saili le inner derivative \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Faaaoga le tulafono o le logarithmic derivative:
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 \]
O le iʻuga mulimuli:
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 5: Fa'aaogāina o Mea e Maua Mai Ai - Maualuga ma Maualalo
Fesili:
Saili le maualuga ma le maualalo o tau o le galuega faatino \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) i le vaeluaga \( x \in [-2, 2] \).
Talanoaga:
1. Saili le ulua'i fua fa'atatau o le \( q(x) \):
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
2. Saili ia tulaga tumau e ala i le foia o le \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
O tulaga tumau o \( x = 2 \) ma le \( x = -1 \).
3. Iloilo le \( q(x) \) i tulaga taua ma tuaoi o le vaeluaga:
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -16 + 12 + 24 – 5 \]
\[ = 15 \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Iloiloga o taunuuga:
– E tupu le tau aupito maualuga i le \( x = 2 \) faatasi ai ma le \( q(2) = 15 \).
– O le tau maualalo e tupu i le \( x = -1 \) faatasi ai ma le \( q(-1) = -12 \).
Fa'ato'a
O se malamalamaga mae'ae'a i le manatu o le derivative o se function e taua tele i vaega eseese o le saienisi. E fa'amoemoe o fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaga o lo'o i luga o le a fesoasoani e fa'alauteleina lou malamalama i le manatu. I le fa'atinoina, e masani ona tatou mana'omia le tu'ufa'atasia o tulafono ma theorem eseese e fo'ia ai fa'afitauli e sili atu ona faigata. Manuia le a'oa'oina!
