Fesili Fa'ata'ita'i e Talanoaina ai le Fa'aaogaina o Fua Fa'atatau o le Trigonometric tan θ
O le Trigonometry o se lala o le matematika e feagai ma tulimanu ma galuega faatino o tulimanu i tafatolu. O se tasi o manatu taua i le trigonometry o le fua faatatau o le trigonometric o tulimanu, e pei o le sine (sin), cosine (cos), ma le tangent (tan). I lenei tusiga, o le a tatou taulaʻi atu i le tangent o se tulimanu e tasi θ, lea e faʻailoa mai e le tan θ.
Fa'amatalaga o le Tan θ
O le tangent o le tulimanu θ i totonu o se tafatolu taumatau o le fua faatatau lea o le umi o le itu faafeagai o le tulimanu θ i le umi o le itu e lata ane o le tulimanu θ. I le fa'amatematika, o le tan θ e fa'aalia e pei o:
\[ \tan \theta = \frac{\text{le itu faafeagai o le tulimanu θ}}{\text{le itu e lata ane o le tulimanu θ}} \]
Ina ia malamalama atili i lenei manatu, o le a tatou iloiloina ni faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli ma talanoaina le faʻaaogaina o le tan θ.
Faataitaiga Fesili 1: Fa'atatauina Tan θ
Tuuina atu se tafatolu taumatau ma le tulimanu θ i le tulaga A, lea o le itu faafeagai o le tulimanu θ e 3 cm le umi ma le itu e lata ane o le tulimanu θ e 4 cm le umi. Fuafua le tan θ.
Tali:
Mai faʻafitauli o loʻo i luga, ua tatou iloa:
– O le itu faafeagai o le tulimanu θ (faafeagai) = 3 cm
– Itu e tuaoi ma le tulimanu θ = 4 cm
I le faʻaaogaina o le faʻamatalaga o le tan θ, matou te fuafuaina:
\[ \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
O lea la, tan θ = 0.75.
I le faʻafanua, o lona uiga mo se tulimanu θ i le tafatolu, o le fua faʻatatau o le umi o le itu faʻafeagai i le umi o le itu e lata ane e 0.75.
Faataitaiga 2: Faaaogaina o le Tan θ e Fuafua ai le Umi o le Itu
O lo'o fa'alagolago se apefai i se puipui i le tulimanu maualuga θ e 30 tikeri. O le mamao mai le vae o le apefai i le puipui e 5 mita. O le a le umi o lo'o fa'alagolago ai le apefai i le puipui?
Tali:
O le laasaga muamua, tatou te toe manatua le faʻamatalaga o le tan θ:
\[ \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \]
I le fa'avae o lenei fa'afitauli:
– θ = 30 tikeri
– tuaoi (mamao mai le vae o le apefai i le puipui) = 5 mita
– faafeagai (maualuga o le apefai i le puipui) = ???
Tatou muamua fuafuaina\text{opposite)):
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Ua tatou iloa mai le laulau trigonometric e faapea:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
O lea la:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{opposite}}{5} \]
Fa'atele itu uma e lua i le 5:
\[ \text{opposite} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
O le isi itu (maualuga o le apefai i le puipui) o loʻo i ai:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89 \text{ mita} \]
O lea la, o le umi o le apefai e 5 mita.
Faataitaiga 3: Fuafuaina o tulimanu e faʻaaoga ai le Tan θ
E 12 mita le umi o le ata o se 'olo. Afai e 8 mita le maualuga o le 'olo, o le a le tulimanu o le la e θ?
Tali:
I lenei fa'afitauli, ua tu'uina mai ia i tatou:
– Maualuga o le 'olo (fa'afeagai) = 8 mita
– Umi o le ata (e tuaoi) = 12 mita
Tatou faʻaaogaina le faʻamatalaga o le tan θ e suʻe ai le θ:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
O lea ua tatou maua le θ faatasi ai ma le fua faatatau:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
O le su'esu'eina o se laulau po'o se calculator e iloa ai le tau o le inverse tangent, tatou te maua ai:
\[ \theta \pe tusa ma le 33.69^\circ \]
O lea la, o le tulimanu o le maualuga o le la e tusa ma le 33.69 tikeri.
Faataitaiga 4: Faaaogaina o le Tan θ i Manaoga Moni o le Lalolagi
Ua fa'apipi'i se mea e fa'aata ai le malamalama o lo'o fa'apipi'i i luga o se pou e 4-mita le maualuga i luga a'e o se ta'avale. Afai e te mana'o e fa'apipi'i se siren e mafai ona va'aia i le tulimanu e 45-tikeri mai le eleele, fuafua le mamao aupito mamao e mafai ai ona va'aia pea le siren.
Tali:
Mai le fesili, ua iloa ai:
– Maualuga o le pou (faafeagai) = 4 mita
– Tulimanu θ = 45 tikeri
E tusa ai ma le faʻamatalaga o le tan θ:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \]
Ua tatou iloa o le \(\tan 45^\circ = 1\), o lea la:
\[ 1 = \frac{4}{\text{adjacent}} \]
O lea la:
\[ \text{adjacent} = 4 \text{ mita} \]
O lea la, o le mamao pito mamao e mafai ona iloa atu ai le sireni e 4 mita.
I'uga
Mai faʻataʻitaʻiga o loʻo i luga, ua tatou vaʻaia ai o le tangent o se tulimanu θ (\(\tan \theta\)) o se manatu aoga tele ma e tele ona faʻaoga aoga, mai le foia o faʻafitauli faigofie i le matematika i lona faʻaoga i manaʻoga i aso uma, e pei o le fausiaina ma le folauga. O le malamalama lelei i lenei manatu e mafai ona fesoasoani e foia faʻafitauli eseese e aofia ai le faʻatusatusaina o le umi o itu i totonu o se tafatolu.
I le aotelega, o le tan θ, o se vaega o le trigonometry, e le gata o se mataupu taua i aʻoaʻoga aloaia ae o se meafaigaluega aoga tele foi i vaega eseese o le olaga moni. E faʻamoemoe o lenei tusiga e maua ai se aotelega manino ma loloto o le faʻaaogaina o le tan θ e foia ai faʻafitauli e fesoʻotaʻi.
