Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga o le Tufatufaina o le Avanoa
O le tufatufaina o avanoa o se tasi o manatu faavae i fuainumera ma le avanoa. E faʻaaogaina e malamalama ai i le avanoa o le tele o tau o se numera faʻafuaseʻi e tupu. E mafai ona tele foliga o tufatufaga o avanoa e faʻatatau i le natura o faʻamaumauga o loʻo suʻesuʻeina. O ituaiga e lua e sili ona taatele o tufatufaga o avanoa o le vavae ese ma le faʻaauau. I totonu o lenei tusiga, o le a matou iloiloina ni faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli ma talanoaina tufatufaga o avanoa e fesoasoani ia i matou e malamalama atili ai i lenei autu.
Tufatufaina Fa'apitoa
O le tufatufaga tu'ueseese o se tufatufaga e fuafua ai le avanoa o se fesuia'iga fa'afuase'i tu'ueseese, o lona uiga, o se fesuia'iga e na'o ni tau patino e mafai ona fa'aogaina. O fa'ata'ita'iga lauiloa o tufatufaga tu'ueseese o le Binomial Distribution ma le Poisson Distribution.
Faʻataʻitaʻiga 1: Tufatufaga Binomial
O le tufatufaina binomial e faʻamatalaina ai le aofaʻi o manuia i se faʻasologa o tofotofoga Bernoulli. O tofotofoga taʻitasi a Bernoulli e lua ona taunuuga: manuia poʻo le toilalo. E tumau pea le avanoa e manuia ai i le taimi atoa o le tofotofoga.
Fesili:
O loʻo faʻataʻitaʻiina e se kamupani vailaʻau se vailaʻau fou i ni gasegase e toʻa 10. O le avanoa e aoga ai le vailaʻau i soʻo se tasi gasegase e 0.7. Faʻatatau le avanoa e aoga ai le vailaʻau i le toʻa 7 mai le toʻa 10 gasegase.
Talanoaga:
O le fesuia'iga fa'afuase'i \(X\) e mulimuli i se tufatufaga binomial ma le \(n = 10\) ma le \(p = 0.7\). O le galuega faatino binomial probability e fa'apea:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Mo le \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Fuafuaina o le binomial coefficient \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Fuafuaina o tau o le ono mafai:
P(X = 7) = 120 taimi (0.7)^7 taimi (0.3)^3
\[ P(X = 7) \pe tusa ma le 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \approx 0.231 \]
O lea la, o le avanoa e aoga ai le vailaʻau i le toʻa 7 mai le toʻa 10 o gasegase e tusa ma le 0.231 poʻo le 23.1%.
Faataitaiga 2: Tufatufaina o le Poisson
O le tufatufaga Poisson e faʻaaogaina e faʻataʻitaʻi ai le aofaʻi o mea e tutupu mai o se mea e seasea tupu i totonu o se taimi poʻo se va o le avanoa.
Fesili:
E maua e se faleoloa le averesi o le 4 tagata fa'atau i le itula. O le a le avanoa e maua ai e le faleoloa ni tagata fa'atau e to'alima i le itula e tasi?
Talanoaga:
O le fesuia'iga fa'afuase'i \(X\) e mulimuli i le tufatufaina atu o Poisson ma le parakalafa \(\lambda = 4\). O le galuega faatino o le tele o le avanoa o le Poisson e faapea:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Mo le \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Faitauga:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.156 \]
O lea la, o le avanoa e maua ai e le faleoloa ni tagata faatau e to’alima i le itula e tasi e tusa ma le 0.156, po’o le 15.6%.
Tufaina Fa'aauau
E fa'aaogaina tufatufaga fa'aauau pe a mafai e le fesuia'iga fa'afuase'i o lo'o fuaina ona faia so'o se tau i totonu o se vaega patino. O fa'ata'ita'iga lauiloa o tufatufaga fa'aauau o le Tu'ufa'atasiga Masani ma le Tu'ufa'atasiga Fa'atele.
Faʻataʻitaʻiga 3: Tufatufaga Masani
O le Tufatufa Masani, e masani ona taʻua foʻi o le Tufatufa Gaussian, o se tufatufaga e masani ona faʻaaogaina i matāʻupu eseese, e aofia ai le saienisi, inisinia, ma le tamaoaiga.
Fesili:
O le maualuga o alii matutua i totonu o se aai e tufatufa masani i le averesi o le 170 cm ma le tulaga faatonuina o le eseesega o le maualuga e 10 cm. O le a le avanoa e iloa ai o se alii ua filifilia faafuasei e i le va o le 160 cm ma le 180 cm le maualuga?
Talanoaga:
E manaʻomia ona tatou fuafuaina le z-score mo le 160 cm ma le 180 cm. O le z-score ua faʻamatalaina e faʻapea:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Mo \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Mo \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
O lea la e manaʻomia ona tatou tilotilo i tau o le ono mafai mai le -1 i le 1 i le laulau z. O le tau mai le z = -1 i le z = 1 e tusa ma le 0.6826.
O lea la, o le avanoa e iloa ai o se tamaloa na filifilia faafuaseʻi e i le va o le 160 cm ma le 180 cm le maualuga e tusa ma le 0.6826 poʻo le 68.26%.
Faataitaiga 4: Tufatufaina Fa'atele
O le Distribution Exponential e faʻaaogaina e faʻataʻitaʻi ai le taimi i le va o mea tutupu i se faʻagasologa Poisson.
Fesili:
O le averesi o le taimi i le va o le taunuu mai o ni tagata faatau se toalua i se faleoloa e 15 minute. O le a le avanoa e itiiti ifo ai i le 10 minute le taimi i le va o le taunuu mai o ni tagata faatau se toalua?
Talanoaga:
O le Fa'asalalauga Fa'afuainumera e iai se parakalafa \(\lambda\) o le fa'afeagai lea o le averesi (\(\mu\)). Fa'atasi ai ma le averesi e 15 minute:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
O le galuega fa'atino tufatufaina fa'aputuga fa'atelevaveina o le:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
Mo le \(x = 10\):
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]
O lea la, o le avanoa e itiiti ifo i le 10 minute le va o le taunuu mai o tagata faatau e toalua e tusa ma le 0.4866 po o le 48.66%.
I'uga
O tufatufaga o avanoa, e tu'ueseese ma fa'aauau, o ni manatu aoga tele mo le fa'ata'ita'iina ma le malamalama i amioga o fesuia'iga fa'afuase'i. O tufatufaga binomial ma Poisson e masani ona fa'aaogaina mo fesuia'iga tu'ueseese, ae o tufatufaga masani ma fa'atelevave o ni fa'ata'ita'iga o tufatufaga fa'aauau.
E ala i faʻataʻitaʻiga o loʻo i luga, matou te faʻamoemoe ua e malamalama atili i le auala e fuafua ai ma faʻamatalaina ai avanoa i tufatufaga avanoa. Faatasi ai ma le faʻataʻitaʻi faifai pea, o lou tomai e malamalama ai i tufatufaga avanoa o le a faʻaleleia atili ma e mafai ona faʻaaogaina i matāʻupu eseese.
