Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai le Fa'asologa Fa'ata'ita'i e Le I'u
O se faasologa fa'ata'ita'i e le gata o se faasologa e aofia ai se numera e le gata o upu i se fa'asologa fa'ata'ita'i. O nei faasologa e iai mana'oga fa'apitoa mo lo latou aofa'i (po'o le tapula'a) ina ia mafai ona fuafuaina. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai le manatu autu o faasologa fa'ata'ita'i e le gata, mana'oga mo le fausiaina o ia mea, ma ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma a latou fofo.
Manatu Fa'avae o le Fa'asologa Fa'ata'atia e le Fa'atapula'aina
O le uiga autū, o se faasologa fa'ata'ita'i o se faasologa o numera lea e maua ai vaega ta'itasi pe a uma le muamua e ala i le fa'ateleina o le vaega muamua i se mea e ta'ua o le fua fa'atatau masani (r). Fa'apea la o lo'o ia i tatou se faasologa fa'ata'ita'i:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Mo se faasologa fa'ata'ita'i e le gata, matou te mafaufau i le aofa'i o upu uma i le faasologa. O le aofa'i o lenei faasologa ua fa'amatalaina e fa'apea:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
O le aofaʻi o se faasologa faʻataʻitaʻi e le gata e faʻatasi (e iai se aofaʻi mautinoa) pe afai ma naʻo le fua faʻatatau \( |r| < 1 \). Afai \( |r| \geq 1 \), ona vavae ese lea o le faasologa ma e leai se aofaʻi mautinoa (e alu i le le gata).
Afai \( |r| < 1 \), o le aofa'i S o se fa'asologa fa'ata'atitia e le gata e mafai ona fa'amatalaina e pei ona taua i lalo: \[ S = \frac{a}{1-r} \] lea: - \( S \) o le aofa'i o le fa'asologa, - \( a \) o le ulua'i vaega, - \( r \) o le fua fa'atatau. Fa'ata'ita'iga Fesili ma Talanoaga Fa'ata'ita'iga Fesili 1 Fesili: Saili le aofa'i o le fa'asologa fa'ata'atitia e le gata mo le fa'asologa o lo'o mulimuli mai: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Talanoaga: Se'i o tatou fa'ailoa mai elemene taua o le fa'asologa: O le ulua'i vaega \( a = 3 \) O le fua fa'atatau \( r \) e mafai ona maua e ala i le vaevaeina o le lona lua vaega i le ulua'i vaega, o lona uiga: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Talu ai \( |r| = 0.5 < 1 \), o lenei fa'asologa e fa'atasi ma e mafai ona tatou fuafuaina le aofa'i o le fa'asologa e le gata. Faaaoga le fua faatatau mo le aofaiga o se faasologa fa'ata'amilosaga e le gata: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] O lea la, o le aofaiga o le faasologa fa'ata'amilosaga e le gata o le 6. Fa'ata'ita'iga Fesili 2 Fesili: Saili le aofaiga o se faasologa fa'ata'amilosaga e le gata ma le ulua'i vaega 8 ma le fua fa'atatau \( r = -\frac{1}{3} \). Talanoaga: O le ulua'i vaega \( a = 8 \) Fua Fa'atatau \( r = -\frac{1}{3} \) Talu ai \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), o lenei fa'asologa e fa'atasi ma e mafai ona tatou fuafuaina le aofa'i o le fa'asologa e le gata. Faaaoga le fua fa'atatau mo le aofa'i o se fa'asologa fa'ata'amilomilo e le gata: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] O lea la, o le aofa'i o le fa'asologa fa'ata'amilomilo e le gata o le 6. Fa'ata'ita'iga Fesili 3 Fesili: E iai se aofa'i e le gata o le fa'asologa o lo'o mulimuli mai? Afai o lea, saili le aofa'i. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Talanoaga: O le ulua'i vaega \( a = 5 \) E mafai ona maua le fua faatatau \( r \) e ala i le vaevaeina o le ulua'i vaega lona lua i le ulua'i vaega, o lona uiga: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Talu ai \( |r| = 0.5 < 1 \), o lenei faasologa e fa'atasi ma e mafai ona tatou fuafuaina le aofa'i o le faasologa e le gata. Faaaoga le fua mo le aofa'i o se faasologa fa'ata'amilosaga e le gata: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] O lea la, o le aofa'i o le faasologa fa'ata'amilosaga e le gata o le 10. Fa'ata'ita'iga Fesili 4 Fesili: Fuafua pe o le faasologa lenei e fa'atasi pe eseese: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Talanoaga: O le ulua'i vaega \( a = 4 \) E mafai ona maua le fua faatatau \( r \) e ala i le vaevaeina o le vaega lona lua i le vaega muamua, o lona uiga: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Talu ai \( |r| = 1.5 > 1 \), o lenei faasologa e eseese ma e leai se aofaiga mautinoa.O lea la, e eseese le faasologa.
Fa'ata'ita'iga Fesili 5
Fesili: Faapea o loo ia te oe le faasologa e le gata lea:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Fuafua le aofaʻi o le faasologa.
Talanoaga:
Vaega muamua \( a = \frac{1}{2} \)
E mafai ona maua le fua faatatau \( r \) e ala i le vaevaeina o le vaega lona lua i le vaega muamua, o lona uiga:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Talu ai \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), e fa'atasi lenei fa'asologa ma e mafai ona tatou fa'atatauina le aofa'i o le fa'asologa e le gata. Fa'aaoga le fua fa'atatau mo le aofa'i o se fa'asologa fa'ata'ita'i e le gata: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] O lea la, o le aofa'i o le fa'asologa fa'ata'ita'i e le gata o le 1. Fa'ai'uga O se fa'asologa fa'ata'ita'i e le gata o se manatu taua fa'amatematika e lautele lona fa'aoga i vaega eseese. Ina ia fuafua le aofa'i o se fa'asologa fa'ata'ita'i e le gata, e tatau ona tatou fa'amautinoa o le fua fa'atatau \( |r| < 1 \). O lea la, e mafai ona fa'atatauina le aofa'i o le fa'asologa e fa'aaoga ai se fua fa'atatau faigofie ma sa'o. Mai fa'ata'ita'iga o fa'afitauli o lo'o i luga, e mafai ona tatou va'aia o lenei metotia e faigofie ai ona fo'ia fa'afitauli e aofia ai fa'asologa fa'ata'ita'i e le gata.
