Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Fuainumera Faigata
O numera faigata o se mataupu e masani ona maua i le matematika i le aʻoga maualuga ma le kolisi. O numera faigata e aofia ai vaega e lua: o se vaega moni ma se vaega faʻataʻitaʻi. I le faʻaaogaina o faʻailoga masani, o se numera faigata e tusia o le \( z = a + bi \), lea o le \( a \) ma le \( b \) o numera moni, ma le \( i \) o le iunite faʻataʻitaʻi ma le meatotino \( i^2 = -1 \). O lenei tusiga o le a aofia ai ni faʻataʻitaʻiga ma a latou talanoaga e uiga i numera faigata, mai galuega faʻavae i faʻaoga i le foʻia o faʻafitauli.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
1. Fa'aopoopoga ma le To'esea o Fuainumera Faigata
Fesili 1
Tuu \( z_1 = 3 + 4i \) ma \( z_2 = 1 – 2i \). Fa'atatau \( z_1 + z_2 \) ma \( z_1 – z_2 \).
Talanoaga
Mo le faaopoopo pe toʻesea o numera faigata, tatou te faagaoioia le vaega moni i le vaega moni ma le vaega faalemafaufau i le vaega faalemafaufau.
Faaopoopoga:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
To'esega:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
O lea la, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ma \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Faatelega o Fuainumera Faigata
Fesili 2
Fuafua le fua fa'aopoopo o le \( z_1 = 2 + 3i \) i le \( z_2 = 4 – i \).
Talanoaga
Mo le fa'ateleina o numera faigata se lua, matou te fa'aaogaina le meatotino tufatufaina o le algebra:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Matou te faʻateleina vaega taʻitasi:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Talu ai \( i^2 = -1 \), ona:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
O lea la, o le fua fa'atatau \( z_1 \cdot z_2 \) e \( 11 + 10i \).
3. Vaevaega o Fuainumera Faigata
Fesili 3
Fuafua le quotient o le \( z_1 = 3 + 4i \) e le \( z_2 = 1 – i \).
Talanoaga
Mo le vaevaeina o se numera faigata, tatou te fa'ateleina le numerator ma le denominator i le conjugate o le denominator o le numera faigata. O le conjugate o le \( 1 – i \) o le \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Se'i o tatou fuafuaina muamua le denominator:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
O lea la ua tatou fuafuaina le numerator:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
O lea la, o le taunuuga:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modulus ma le Finauga o Fuainumera Faigata
Fesili 4
Fuafua le modulus ma le finauga o le \( z = 1 + i \).
Talanoaga
O le modulus o le numera faigata \( z = a + bi \) e faapea:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Mo le \( z = 1 + i \), o lo'o ia i tatou le \( a = 1 \) ma le \( b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
O le finauga o se numera faigata o le tulimanu \( \theta \) ua fausia faatasi ma le au moni lelei, e fuaina mai le amataga agai atu i le tulaga \( (a, b) \).
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\taumatau)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
O lea la, o le modulus o le \( z = 1 + i \) o le \( \sqrt{2} \) ma o le finauga o le \( \frac{\pi}{4} \).
5. Fa'atulagaga Fa'atele ma le Fa'ata'ita'iga Euler
Fesili 5
Liliu le numera faigata \( z = 1 + i \) i le tulaga fa'atelefoni.
Talanoaga
Fa'asologa fa'atelevave o numera faigata e fa'aaoga ai le fua fa'atatau a Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
O fea o le \( r \) o le modulus ma o le \( \theta \) o le finauga. Mai le talanoaga talu ai, ua tatou iloa ai:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
O lea la, o le fa'atulagaga fa'atelefoni e fa'apea:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. A'a o Fuainumera Faigata
Fesili 6
Saili a'a sikuea o le numera faigata \( z = -1 \).
Talanoaga
E mafai ona maua a'a sikuea o numera faigata e fa'aaoga ai le fa'atulagaga polar po'o le fa'atulagaga exponential. Matou te liua le \( z = -1 \) i le fa'atulagaga exponential:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
E mafai ona tusia le a'a fa'atafafa o le \( e^{i\pi} \) e fa'apea:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Faatasi ai ma le \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), ma le \( k = 0, 1 \):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
O lea la, o a'a fa'atafafa o le \( -1 \) o le \( i \) ma le \( -i \).
7. Fa'aoga i Fa'atusatusaga Fa'atafafā
Fesili 7
Foia le fua fa'atatau fa'atafafā \( z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Talanoaga
E mafai ona tatou faʻaaogaina le fua faʻatatau quadratic:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Mo le fua fa'atatau \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
O lea la, o tali o le \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) o le \( z = -2 + 3i \) ma le \( z = -2 – 3i \).
I'uga
O numera faigata o se manatu lautele fa'amatematika e tele ona fa'aoga. I le malamalama i galuega fa'avae e pei o le fa'aopoopoga, to'esega, fa'atelega, ma le vaevaeina, fa'apea fo'i ma le auala e fuafua ai le modulus ma le finauga, e mafai ona tatou foia fa'afitauli eseese e aofia ai numera faigata. E fa'amoemoe o fa'ata'ita'iga o lo'o i luga o le a fesoasoani ia te oe e malamalama atili ai ma fa'aleleia atili lenei autu.
