Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o le Tulafono o le Filifiliga i Mea e Maua Mai
O le tulafono o le filifili (chain rule) o se tasi o manatu faavae sili ona taua i le calculus differential, e faʻaaogaina e fuafua ai le derivative o se galuega faatino e aofia ai galuega faatino e lua pe sili atu. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai le manatu faavae o le tulafono o le filifili, le auala e faʻaaoga ai, ma faʻataʻitaʻiga o lona faʻaaogaina i faʻafitauli derivative e masani ona tulaʻi mai i le aʻoga maualuga ma le kolisi.
1. Fa'atomuaga i le Tulafono o le Filifiliga
A o le’i oo atu i le fa’ata’ita’iga o le fa’afitauli, se’i o tatou malamalama muamua po’o le a le tulafono o le filifili (chain rule). O le tulafono o le filifili (chain rule) e fa’apea afai e lua a tatou galuega fa’atino e mafai ona vaevaeina \( f \) ma \( g \), ma tatou te manana’o e su’e le derivative o le fa’atulagaga o galuega fa’atino \( h = f(g(x)) \), o le derivative o \( h \) e fa’apea:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
I se faaupuga faigofie, tatou te fuafuaina le derivative o le galuega faatino i fafo i luga o le g(x), ona faateleina lea o le taunuuga i le derivative o le galuega faatino i totonu \( g(x) \).
2. Malamalama i le Galuega a le Fa'atulagaga
A o le’i o’o atu i fa’ata’ita’iga o fa’afitauli, e taua le malamalama i galuega fa’atino o le tuufaatasiga. O se galuega fa’atino o se galuega e maua mai i le fa’aofiina o le tasi galuega i totonu o le isi. Mo se fa’ata’ita’iga, afai e iai sa tatou \( f(x) = \sin(x) \) ma le \( g(x) = x^2 \), o lona uiga o le tuufaatasiga o galuega e lua o le a \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
I galuega fa'atulagaina, e masani ona tatou mafaufau i le \( g(x) \) o le “galuega i totonu” ma le \( f(x) \) o le “galuega i fafo”. I lenei fa'ata'ita'iga, o le galuega i totonu o le \( x^2 \) ma o le galuega i fafo o le sine.
3. Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Se'i o tatou tilotilo i ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli e fa'aogaina ai le tulafono o le filifili e foia ai.
Faataitaiga 1:
I le tulaga o le galuega faatino \( y = \cos(3x^2) \), saili le ulua'i fua fa'atatau o le y e fa'atatau i le x.
Talanoaga:
Muamua, tatou te fa'ailoaina galuega faatino i totonu ma galuega faatino i fafo. O iinei, o le galuega faatino i totonu o le \( g(x) = 3x^2 \) ma o le galuega faatino i fafo o le \( f(g) = \cos(g) \).
Ua matou iloa:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
I le tulafono o le filifili, tatou te maua:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le \( y = \cos(3x^2) \) e fa'apea:
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
Faataitaiga 2:
Saili le ulua'i fua fa'atatau o le \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Talanoaga:
O iinei o le galuega faatino i totonu o le \( g(x) = 5x^3 + 2x \) ma o le galuega faatino i fafo o le \( f(g) = e^g \).
Ua matou iloa:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
I le tulafono o le filifili, tatou te maua:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) e faapea:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Faataitaiga 3:
Saili le ulua'i fua fa'atatau o le \( y = \ln(4x^2 – 5) \).
Talanoaga:
O le galuega faatino i totonu o le \( g(x) = 4x^2 – 5 \) ma o le galuega faatino i fafo o le \( f(g) = \ln(g) \).
Ua matou iloa:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
I le tulafono o le filifili, tatou te maua:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le \( y = \ln(4x^2 – 5) \) e fa'apea:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Faataitaiga 4:
I le tulaga o le galuega faatino \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), saili lona fua fa'atatau.
Talanoaga:
O le galuega faatino i totonu o le \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) ma o le galuega faatino i fafo o le \( f(g) = g^4 \).
Ua matou iloa:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
I le tulafono o le filifili, tatou te maua:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) e fa'apea:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Mataupu Faapitoa ma le Atinaʻeina o Tulafono Faʻasolo
O nisi taimi, e lē gata le tulafono o le filifili i le tuufaatasiga o na o galuega faatino e lua. E iai taimi e sili atu ma le lua galuega faatino o se tuufaatasiga o galuega faatino, mo se faataitaiga: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Mo le tulaga o galuega tauave e tolu, e mafai ona faʻaaogaina le tulafono o le filifili i ni vaega:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
E mafai ona tatou vaʻaia i vaega taʻitasi, tatou te faʻatatauina mea e maua mai i vaega i fafo aʻo leʻi agai atu i mea e maua mai i vaega i totonu.
Faataitaiga 5:
Afai ua tu'uina mai le \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), saili lona fua fa'atatau.
Talanoaga:
O le galuega faatino pito i totonu o le \( k = 2x^2 + 1 \), ogatotonu: \( g = \ln(k) \) ma fafo: \( f = \sqrt{g} \).
Ua matou iloa:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Se'i o tatou fa'aogaina le tulafono o le filifili i ni vaega:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
O le fua fa'atatau lea o le \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) e fa'apea:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Faaiuga
E taua tele le sao o le tulafono o le filifili i le calculus differential, aemaise lava pe a feagai ma le tuufaatasiga o galuega faatino. O le malamalama ma le pulea lelei o le tulafono o le filifili e maua ai se faavae mautu mo le foia o faafitauli e sili atu ona faigata i le calculus. Ua talanoaina i lenei tusiga ni faataitaiga taua se tele e maua ai se malamalamaga mautu i le faaaogaina o le tulafono o le filifili i mea e maua mai ai. Matou te faamoemoe o lenei talanoaga o le a aoga mo tamaiti aoga ma e mafai ona faaaogaina i le tele o tulaga faigata o le matematika.
