Faʻataʻitaʻiga o se fesili e talanoaina i le faʻaaogaina o mea e maua mai ai
O le derivative o se manatu faavae o le calculus e tele ona faʻaoga i le olaga i aso faisoo ma isi matāʻupu o le saienisi, e pei o le fisiki, tamaoaiga, paiolo, ma le inisinia. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai ni faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli ma talanoaina ai faʻaoga o derivatives, aemaise lava i le tulaga o le faʻaleleia atili ma le auʻiliʻiliga o galuega.
Fa'atomuaga i Talosaga Fa'apitoa
O le fa'asologa o se galuega faatino e maua ai fa'amatalaga e uiga i le fua faatatau o le suiga o lena galuega faatino e tusa ai ma lona fesuia'iga tuto'atasi. O le fa'ata'ita'iga faigofie o le saoasaoa, o le fa'asologa lea o le tulaga e tusa ai ma le taimi. I se tulaga lautele, e mafai ona fa'aaogaina fa'asologa e su'e ai tau maualuga ma tau maualalo o se galuega faatino, fuafua ai va o lo'o fa'ateleina pe fa'aitiitia ai se galuega faatino, ma tu'uina atu fa'amatalaga e uiga i meatotino ma amioga fa'ata'ita'i o se galuega faatino.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Sailia o Tau Maualuga ma Tau Maualalo
Fesili:
Fuafua ia tulaga aupito maualuga ma tulaga aupito maualalo o le galuega faatino \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).
Talanoaga:
1. Sailia o le ulua'i fa'aliliuga:
Ina ia maua ia tulaga taua, e manaʻomia ona tatou maua le uluaʻi faʻasologa o le galuega faatino ma faʻatusatusa i le zero.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Foia le fua fa'atatau:
Matou te fa'atusatusa le fua fa'atatau:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
O le mea lea, tatou te maua ni tulaga taua i le \( x = 0 \) ma le \( x = 2 \).
3. Iloilo le fa'asologa lona lua:
Ina ia iloa pe o tulaga taua o le maxima poʻo le minima, e manaʻomia ona tatou sailia le lona lua o le derivative o le function:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Iloiloga i tulaga taua:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{negative, so\ } x = 0 \text{\ o se maualuga fa'alotoifale})
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{positive, so\ } x = 2 \text{\ o se tulaga maualalo i le lotoifale})
\]
4. Fuafua le maualuga ma le maualalo o tau:
Sui ia manatu taua i totonu o le galuega muamua:
\[
f(0) = 0^3 – 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 \, (\text{maualuga})
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 \, (\text{minimum})
\]
O lea la, o le galuega faatino \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) e iai lona maualuga i le lotoifale i le \( (0, 4) \) ma se maualalo i le lotoifale i le \( (2, 0) \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Fa'aleleia atili ma Tapula'a
Fesili:
O loʻo manaʻo se faifaatoʻaga e fausia se pa faʻatafafā e tuaoi ma se vaitafe. A tuʻuina atu le 100 mita o le pa, fuafua le fua o le pa e faʻateleina ai lona lautele.
Talanoaga:
1. Fai se fua fa'atatau:
Faapea o le umi o le pa e tutusa ma le vaitafe e \( x \) mita ma o le lautele e \( y \) mita. Talu ai o le tasi itu e tuaoi ma le vaitafe, o le pa e manaʻomia e mo itu e tolu.
\[
2y + x = 100
\]
2. Saili le lautele aupito tele:
O le lautele o le pa \( A \) e faapea:
\[
A = x \cdot y
\]
Mai le fua fa'atatau o le pa, e mafai ona tatou fa'aalia le \( y \) i tulaga o le \( x \):
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
O lea la, o le fua fa'atatau mo le eria e avea ma:
\[
A(x) = x \cdot \frac{100 – x}{2} = 50x – \frac{x^2}{2}
\]
3. Sailia o le ulua'i fa'aliliuga:
Ina ia maua le tau aupito maualuga, tatou te maua le uluaʻi faʻasologa o le \( A(x) \):
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Fa'atusatusa i le zero:
\[
50 – x = 0 \fa'aalia ai le x = 50
\]
4. Fuafua le tau o le \( y \):
Sui le \( x = 50 \) i le fua fa'atatau:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
O lea la, o le fua o le pa e maua ai le lautele maualuga e 50 mita le umi ma le 25 mita le lautele.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Fuafuaina o le Saosaoa Maualuga
Fesili:
O se vaega e gaoioi i luga o se laina sa'o ma le tulaga o lo'o fa'aalia o se galuega tauave o le taimi \( s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1 \). Fuafua le saoasaoa maualuga o le vaega.
Talanoaga:
1. Fuafua le saoasaoa (tulaga e maua mai ai):
O le saoasaoa o se vaega o le uluaʻi faʻasologa lea o le tulaga e tusa ai ma le taimi:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Fuafua le fa'asologa lona lua:
Mo le mauaina o togi aupito maualuga, matou te mauaina le lona lua o le derivative:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Sailia o le tulaga taua:
Fa'atusatusa le muamua derivative o le saoasaoa i le zero:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Vaevae i le 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Fa'avasegaina:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
O lea la, o tulaga taua o le \(t = 1 \) ma le \(t = 3 \).
4. Iloilo le fa'avavevaveina e maua ai le maualuga:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \implies t = 1 \text{\ o se maualuga fa'alotoifale}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \implies t = 3 \text{\ o se tulaga maualalo i le lotoifale}
\]
5. Fuafuaina o le saoasaoa maualuga:
Suitulaga \( t = 1 \) i le fua fa'atatau o le saoasaoa:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{lē manaia})
\]
Siaki isi tapula'a talafeagai po'o vaega o le vaeluaga e fa'amautinoa ai le fofo sili ona lelei.
Faatasi ai ma nei laasaga, e mafai ona tatou fausia se mamanu fofo e faʻavae i luga o faʻafitauli eseese o loʻo i luga.
I'uga
O faʻataʻitaʻiga o loʻo i luga o loʻo faʻaalia ai le auala e mafai ai ona faʻaaogaina derivatives e foia ai faʻafitauli i le tele o tulaga. O le sailia o tau maualuga ma maualalo, faʻaleleia faʻatapulaʻaina, ma le auʻiliʻiliga o gaioiga ua naʻo ni nai faʻaoga o le manatu o derivatives. O le atamai i nei metotia ma auala e taua tele mo i latou o loʻo suʻesuʻeina le matematika maualuga ma matāʻupu faʻatatau.
