Inercijski trenutek

1. Vztrajnostni moment delca

Oglejmo si vrteči se delec. Na delca z maso m deluje sila F, zaradi katere se delec vrti okoli osi O. Delec je od osi vrtenja oddaljen za r. Najprej miruje (v = 0). Po gibanju s silo F se delci premikajo z določeno hitrostjo, tako da imajo tangencialni pospešek. Razmerje med silo (F), maso (m) in tangencialnim pospeškom delcev je izraženo z enačbo 3:

F = ma_tan (Enačba 3)

Delci se vrtijo tako, da imajo delci kotni pospešek. Razmerje med tangencialnim pospeškom in kotnim pospeškom je izraženo z enačbo 4:

a_tan = r α (enačba 4)

V enačbo 3 nadomestimo a z a v enačbo 4:

F = mr α

rF = mr² α

τ = (g.²) α (enačba 5)

r F je moment sile in mr² je vztrajnostni moment delca. Enačba 5 prikazuje razmerje med momentom sile, vztrajnostnim momentom in kotnim pospeškom vrtečih se delcev. Enačba 5 je enačba Newtonovega drugega zakona za vrteče se delce.

Naš inercijski trenutek delca je produkt mase delca (m) in kvadrata razdalje med delci in osjo vrtenja (r²).

Jaz = g.² (Enačba 6)

I = vztrajnostni moment delca, m = masa delca, r = razdalja med delcem in osjo vrtenja. Enačba 6 se uporablja za določitev vztrajnostnega momenta delca.

3.2 Primeri problemov vztrajnostnega momenta delca

Vzorec problema 1.

Delec z maso 2 kg je bil privezan na vrv, dolgo 0.5 metra, in nato zavrten. Kolikšen je vztrajnostni moment delcev pri vrtenju?

rešitev:

Jaz = g.²

I = (2 kg) (0.5 m)²

I = 0.5 kg m²

Vzorec problema 2.

Dva delca, vsak z maso 2 kg in 4 kg, sta povezana z lahko žico, pri čemer je dolžina žice 2 metra. Maso žic zanemarite. Določite vztrajnostni moment obeh delcev, če:

a) Os vrtenja se nahaja med obema delcema

rešitev:

I = m₁ r₁² +m₂ r₂²

I = (2)(12) + (4)(12)

Jaz = 2 + 4

I = 6 kg m²

b) Os vrtenja je oddaljena 0.5 metra od delca z maso 2 kg.

I = m₁ r₁² +m₂ r₂²

Jaz = (2)(0.5²) + (4)(1.5²)

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Jaz = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m²

c) Os vrtenja je oddaljena 0.5 metra od delca z maso 4 kg

I = m₁ r₁² +m₂ r₂²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5)²)

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Jaz = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m²

Na podlagi rezultatov zgornjih izračunov na vztrajnostni moment močno vpliva lokacija vrtilne osi. Čeprav sta oblika in velikost enaki, ker je lokacija vrtilne osi drugačna, se razlikuje tudi vztrajnostni moment.

Delci blizu osi vrtenja imajo manjši vztrajnostni moment, medtem ko imajo delci, ki so daleč od osi vrtenja, večji vztrajnostni moment. Če predpostavimo, da sta zgornja dva delca toga predmeta, potem je vsak delec blizu osi vrtenja.

ima manjši vztrajnostni moment kot vztrajnostni moment delca, ki je dlje oddaljen od osi vrtenja.

3.3 Vztrajnostni moment homogenega togega telesa

Togi predmeti so sestavljeni iz mnogih delcev. Vztrajnostni moment togega telesa je skupno število vztrajnostnih momentov vsakega delca, ki gradi predmet.

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Za določitev vztrajnostnega momenta togega predmeta moramo pregledati predmet med vrtenjem, ker položaj vrtilne osi vpliva na vztrajnostni moment predmeta. Vztrajnostni moment (I) vsakega delca je odvisen tudi od mase (m) delca in kvadrata razdalje (r²) delca od osi vrtenja. Masa vseh delcev, ki sestavljajo objekt, je masa objekta.

Težava je v tem, da se oddaljenost vsakega delca od osi vrtenja spreminja.

Preglejte zmanjšanje vztrajnostnega momenta tankega obroča s prsti R in maso M v formuli.

Če je os vrtenja v središču obroča, so vsi delci tankega obroča oddaljeni od osi vrtenja. Vztrajnostni moment tankega obroča je enak vztrajnostnemu momentu vseh delcev:

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Masa vseh delcev = masa tankega obroča (M)

I = M(r)₁² +r₂² +r₃² + ….. + r_n²)

Vsak delec tankega obroča je oddaljen r od osi vrtenja, tako da je r₁ = r₂ = r₃ = rn = R

Enačba vztrajnostnega momenta tankega obroča:

Jaz = MR²

I = vztrajnostni moment tankega obroča, M = masa tankega obroča, R = polmer tankega obroča.

Kaj pa, če os vrtenja ni v središču obroča? Če os vrtenja ni v središču obroča, formule za vztrajnostni moment tankega obroča ni mogoče izpeljati z zgornjo metodo.

ker je oddaljenost vsakega delca od osi vrtenja različna. Izpeljava formule za vztrajnostni moment za takšen problem v tej temi ni obravnavana.

Formula vztrajnostnega momenta za nekatere toge predmete

3.4 Primer problema vztrajnostnega momenta homogenega togega telesa

Vzorec problema 1:

Palčni valj AB ima maso 3 kg, ko se vrti skozi B,

vztrajnostni moment je 27 kg m²Kolikšen je vztrajnostni moment, če

zasukano skozi C?

rešitev:

rešitev:

Formula za vztrajnostni moment homogene trdne palice (os vrtenja je v središču palice):

I = 1/12 ml²

27 = (1/12) ML²

(27)(12) = ML²

324 = ML²

Formula vztrajnostnega momenta homogene trdne palice (os vrtenja na robu palice):

I = 1/3 ml²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m²