Kotni moment

Kotni moment

Količina rotacijskega gibanja, ki je enaka masi (m) pri linearnem gibanju, je vztrajnostni moment (I). Količina rotacijskega gibanja, ki je enaka hitrosti (v) pri linearnem gibanju, je kotna hitrost (ω). Vrteči se objekt ima torej kotni moment, ki ga lahko izračunamo z enačbo:

L = Iω

L = kotni moment (kg m² ^/ s), I = vztrajnostni moment (kg m² ⁾ , ω = kotna hitrost (rad/s)

Primeri problemov kotnega momenta

Vzorec problema 1.

Delec z maso 0.5 grama se giblje v krogu s konstantno kotno hitrostjo 2 rad/s. Določite kotni moment delca, če je polmer poti delca 10 cm.

rešitev:

Vztrajnostni moment delca:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁶ kg ^m²

Kotna hitrost delca:

ω = 2 rad/s

Kotni moment delca:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

Zakon o ohranitvi vrtilne količine

Zakon o ohranitvi vrtilne količine pravi, da če je rezultantni moment sile na togo telo pri vrtenju enak nič, potem je vrtilna količina togega telesa pri vrtenju vedno konstantna. Zakon o ohranitvi vrtilne količine lahko matematično izpeljemo s spremembo enačbe Newtonovega drugega zakona vrtilne količine. Tukaj je enačba Newtonovega drugega zakona o vrtilni količini:

Če je nastali moment sile nič, se zgornja enačba spremeni v:

I _t = končni vztrajnostni moment, I _o = začetni vztrajnostni moment, ω _t = končna kotna hitrost, ω _o = začetna kotna hitrost, L _t = končni kotni moment, L _o = začetni kotni moment.

Primeri problemov zakona o ohranitvi vrtilne količine

Vzorec problema 1.

Homogen valjast disk se sprva vrti okoli svoje osi s hitrostjo 4 rad/s. Masa in polmer diska sta 1 kg in 0.5 m. Če nad ploščo postavimo obroč z maso in polmerom 0.2 kg in 0.1 m, središče obroča pa je ...

tik nad središčem diska, se bosta disk in obroč vrtela skupaj s kotno hitrostjo ...

rešitev:

Vztrajnostni moment polnega valja: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Vztrajnostni moment obroča: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Začetni kotni moment (L1 ₎ = Končni kotni moment ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konceptualna vprašanja in odgovori

1. Kaj je kotni moment?
   Odgovor: Kotni moment je mera vrtenja telesa glede na njegovo maso in obliko. Je rotacijski analog linearnega momenta.
2. Kako se matematično določi kotni moment?
   Odgovor: Kotni moment (L) je definiran kot $L=r\times p$, Kjer $r$ je vektor položaja od osi vrtenja do točke delovanja in $p$ je linearni moment.
3. Je kotni moment skalarna ali vektorska količina?
   Odgovor: Kotni moment je vektorska količina.
4. Kakšna je enota za vrtilno količino v sistemu SI?
   Odgovor: Enota za vrtilno količino v sistemu SI je kilogram-meter na kvadrat na sekundo (kg·m²/s).
5. Kako se ohranja kotni moment?
   Odgovor: V zaprtem sistemu brez zunanjih navorov ostane skupni kotni moment konstanten.
6. Kaj je načelo ohranitve kotnega momenta?
   Odgovor: Načelo pravi, da skupni kotni moment zaprtega sistema ostane konstanten, razen če nanj deluje zunanji navor.
7. Kakšna je povezava med vrtenjem umetnostnega drsalca in kotnim momentom?
   Odgovor: Ko umetnostni drsalec med pirueto potegne roke in noge blizu telesa, zmanjša svoj vztrajnostni moment, zaradi česar se vrti hitreje. To dokazuje ohranitev kotnega momenta.
8. Kakšna je povezava med navorom in kotnim momentom?
   Odgovor: Navor ($\tau$) je hitrost spremembe vrtilne količine. Matematično gledano, τ=dl/s​.
9. Ali je mogoče, da ima objekt kotni moment brez kotne hitrosti?
   Odgovor: Ne, če ima telo kotni moment, ima tudi kotno hitrost. Velikost in smer kotnega momenta sta odvisni tako od vztrajnostnega momenta kot od kotne hitrosti.
10. Kako vztrajnostni moment vpliva na kotni moment?
    Odgovor: Kotni moment (L) je produkt vztrajnostnega momenta (I) in kotne hitrosti (ω). ZDA $L=I\omega$, povečanje vztrajnostnega momenta pri dani kotni hitrosti poveča kotni moment.
11. Kakšna je razlika med spinom in orbitalnim kotnim momentom v kvantni mehaniki?
    Odgovor: Vrtilni moment je intrinzična lastnost delcev, tako kot elektroni, in ne izhaja iz gibanja v prostoru. Orbitalni moment pa izhaja iz gibanja delca okoli osrednje točke.
12. Kakšno vlogo igra kotni moment pri nastanku planetarnih sistemov?
    Odgovor: Ko se molekularni oblak seseda in tvori zvezde in planete, ohranitev kotnega momenta povzroči, da se material splošči v disk okoli novorojene zvezde, iz katerega lahko nastanejo planeti.
13. Kako žiroskop ohranja svojo orientacijo v prostoru?
    Odgovor: Vrteči se žiroskop ima kotni moment. Ko zunanji navor poskuša spremeniti njegovo orientacijo, se žiroskop zaradi ohranitve kotnega momenta premakne v precesijo oziroma spremeni svojo os vrtenja v smeri, pravokotni na uporabljeni navor.
14. Kaj povzroča precesijo v vrtavki?
    Odgovor: Precesijo v vrtavki povzroča navor gravitacije, ki deluje na masno središče vrtavke, ki je odmaknjeno od njene vrtiščne točke. Ta navor povzroči spremembo smeri vrtilne količine vrtavke, kar povzroči njeno precesijo.
15. Zakaj se zvezde sploščijo na svojih polih?
    Odgovor: Ko se zvezde vrtijo, nanje deluje centrifugalna sila, ki potiska snov navzven. Ta učinek je močnejši na ekvatorju kot na polih, kar vodi do sploščene oblike.
16. Kakšna je povezava med kotnim momentom in drugim Keplerjevim zakonom?
    Odgovor: Keplerjev drugi zakon pravi, da daljica, ki povezuje planet in Sonce, v enakih časovnih intervalih opiše enake površine. To je posledica ohranitve kotnega momenta.
17. Zakaj mačka vedno pristane na nogah, ko pade?
    Odgovor: Mačke uporabljajo zakon o ohranitvi vrtilne količine. Z obračanjem telesa in spreminjanjem vztrajnostnih momentov v zraku se lahko preusmerijo in pristanejo na nogah, ne da bi pri tem kršile zakone o ohranitvi vrtilne količine.
18. Kakšna je povezava med magnetnim momentom in kotnim momentom v elektronih?
    Odgovor: Magnetni moment elektrona izhaja iz njegovega spina in orbitalnega kotnega momenta. Magnetni moment je sorazmeren s kotnim momentom elektrona.
19. Kaj je kotni moment v polarnih koordinatah?
    Odgovor: V polarnih koordinatah, kotni moment $L$ za točkovno maso lahko izrazimo kot $L=mrv$, Kjer $m$ je masa, $r$ je radialna razdalja in $v$ je tangencialna hitrost.
20. Kaj se zgodi z vrtilno količino zaprtega sistema, ko dva telesa trčita?
    Odgovor: V zaprtem sistemu, kjer trčita dva telesa, je skupni kotni moment pred trkom enak skupnemu kotnemu momentu po trku, ob predpostavki, da na sistem ne delujejo zunanji momenti.

Problemi in rešitve

1. Problem: Točka z maso m = 2 kg se giblje s hitrostjo v = 3 m/s v krogu s polmerom r = 4 m. Izračunajte njen kotni moment okoli središča kroga.

Rešitev: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Problem: Trdna krogla z maso 3 kg in polmerom 0.5 m se vrti okoli svojega premera s kotno hitrostjo ω = 2 rad/s. Kolikšen je njen kotni moment?

Rešitev: Za trdno kroglo ^je I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problem: Točkasta masa 3 kg se giblje s hitrostjo 4 m/s v ravni črti. Kolikšen je njen kotni moment okoli točke, ki je 5 m oddaljena od njene linije gibanja?

rešitev:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problem: Disk z maso 5 kg in polmerom 3 m se vrti s kotno hitrostjo 2 rad/s. Izračunajte njegov kotni moment.

Rešitev: Za disk ^je I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problem: Palica dolžine 4 m in mase 2 kg se vrti okoli enega konca s kotno hitrostjo 3 rad/s. Izračunajte njen kotni moment.

Rešitev: Za palico, ki ima dolžino okoli enega konca, je I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problem: Kolikšna je sprememba kotnega momenta, če se vrteče telo podvoji svojo kotno hitrost?

Rešitev: Razmerje med kotnim momentom (L) in kotno hitrostjo (ω) je $L=I\times \omega$ . Če se ω podvoji, se podvoji tudi kotni moment.

7. Problem: Če se polmer krožne poti gibajočega se delca podvoji, medtem ko hitrost ostane konstantna, za kolikšen faktor se spremeni kotni moment?

Rešitev: Kotni moment, $L=m\times r\times v$ . Če se r podvoji, se bo podvojil tudi L.

8. Problem: Otrok z maso 30 kg stoji na robu vrtiljaka, ki miruje. Polmer vrtiljaka je 2 m. Če otrok začne teči s hitrostjo 2 m/s glede na tla vzdolž roba, izračunajte kotni moment otroka glede na središče.

Rešitev: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Problem: Valj z maso 6 kg in polmerom 2 m se vrti okoli svoje osrednje osi s kotno hitrostjo 5 rad/s. Izračunajte njegov kotni moment.

Rešitev: Za valj ^je I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ^² × 5 = 120 kg.m² ^/ s

10. Problem: Kolikšen bo novi kotni moment telesa, če se njegov vztrajnostni moment prepolovi in ​​kotna hitrost potroji?

Rešitev: Glede na to, da je $L=I\times \omega$ , če $I$ prepolovimo in $\omega$ potrojimo, bo novi $L$ enak 1/2 × 3 = 1.5 × prvotni.

11. Problem: Obroč z maso 2 kg in polmerom 1 m se vrti s kotno hitrostjo 4 rad/s. Izračunajte njegov kotni moment.

Rešitev: Za obroč je I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Problem: Ventilator ima lopatice dolžine 0.5 m in skupno maso 1 kg. Če se vrti s kotno hitrostjo 10 rad/s, določite njegov kotni moment.

Rešitev: Ob predpostavki, da so lopatice ventilatorja podobne palicam, ki se vrtijo okoli enega konca, je I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ^² × 10 = 0.833 kg.m² ^/ s

13. Problem: Izračunajte vrtilno količino Zemlje okoli lastne osi zaradi njenega vrtenja. Dano je: Masa Zemlje ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , Polmer $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁶rad\text{/s}$.

Rešitev: Če predpostavimo, da je Zemlja trdna krogla, ^je I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problem: Otrok se premika proti središču vrteče se ploščadi. Ali se kotni moment poveča, zmanjša ali ostane enak?

Rešitev: Kotni moment se ohrani. Ko se otrok premika proti središču, se vztrajnostni moment zmanjšuje. Da bi se ohranil kotni moment, se kotna hitrost poveča. Tako kotni moment ostane enak.

15. Problem: Če se kinetična energija vrtečega se telesa podvoji, za koliko faktor se spremeni njegov kotni moment?

Rešitev: Kinetična energija K = 1/2 ​I ω ² in kotni moment $L=I\omega$ . Če se kinetična energija podvoji in $I$ ostane konstanten, se ω ² podvoji. To pomeni, da se $\omega$ poveča za faktor √ 2 ​.$Tako\; se\; tudi\; L$ poveča za faktor √ 2 ​.

16. Problem: Kolesno kolo s polmerom 0.3 m ima rob z maso 1.5 kg. Če se vrti s kotno hitrostjo 5 rad/s, izračunajte njegov kotni moment.

Rešitev: Če predpostavimo, da je rob obroč, je I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Problem: Drsalka med vrtenjem potegne roke navznoter. Kaj se zgodi z njenim kotnim momentom?

Rešitev: Drsalkin kotni moment se ohrani. Z vlečenjem rok navznoter zmanjša svoj vztrajnostni moment in se tako hitreje vrti (poveča se kotna hitrost), da ohrani svoj kotni moment.

18. Problem: Vztrajnik ima vztrajnostni moment 0.2 kg.m² ^{kg.m² in} se vrti s kotno hitrostjo 10 rad/s. Izračunajte njegov kotni moment$\text{.}$

rešitev:

$L=I\times \omega$ =0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problem: Na sistem deluje neto zunanji navor nič. Kaj lahko poveste o njegovem kotnem momentu?

Rešitev: Če je neto zunanji navor nič, potem v skladu z ohranitvijo kotnega momenta skupni kotni moment sistema ostane konstanten.

20. Problem: Točka z maso m = 5 kg se giblje s hitrostjo v = 3 m/s pravokotno na premico, ki jo povezuje s točko P. Če je razdalja od točke P 4 m, izračunajte njen kotni moment okoli točke P.

rešitev:

$L=m\times r\times v$ =5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s