projektil-pohyb

Článok o pohybe projektilu a vzorové úlohy s riešeniami

Počiatočná rýchlosť (v_o) a zložky počiatočnej rýchlosti (v_ox a v_oy)

Objekt, ktorého parabolický pohyb má vždy počiatočnú rýchlosť. Keďže parabolický pohyb je kombináciou pohybov v horizontálnom a vertikálnom smere, počiatočná rýchlosť má tiež horizontálnu a vertikálnu zložku.

Ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázkoch 1 a 3, potom sa počiatočná rýchlosť v horizontálnom smere (v _ox ) a počiatočná rýchlosť vo vertikálnom smere (v _oy ) vypočítajú pomocou rovnice:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ak sa objekt pohybuje parabolicky ako na obrázku 2, potom v _o = v _ox (v _oy = 0)

Rýchlosť (v)_x a v_y) a poloha (x a y)

Rýchlosť v horizontálnom a vertikálnom smere v určitom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

v _x = v _ox = konštanta ( rovnomerný lineárny pohyb )

v _y = v _oy + gt alebo v _y ² = v _oy ² + 2 gh (voľný pád)

Poloha objektov v horizontálnom (x) a vertikálnom (y) smere v určitom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

Výslednica rýchlosti (v) a polohy (h)

Výsledná rýchlosť v zadanom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

Smer objektov v určitom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

Poznámky:

1. Horizontálna zložka parabolického pohybu sa považuje za rovnomerný lineárny pohyb, takže vox = vx je vždy konštantné

2. Vertikálna zložka parabolického pohybu sa považuje za pohyb voľného pádu, takže ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázkoch 1 a 3, vertikálna zložka rýchlosti objektu v maximálnej výške je nulová (v _y = 0). Ak hodíte guľôčku vzpriamene nahor v maximálnej výške, objekt sa na chvíľu zastaví (v _y = 0) predtým, ako sa otočí smerom nadol. Preto je rýchlosť objektu pohybujúceho sa parabolicky v maximálnej výške = v _x = v _ox

3. Ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázku 2, vertikálna zložka parabolického pohybu sa považuje za pohyb voľného pádu. Ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázkoch 1 a 3, potom sa vertikálna zložka parabolického pohybu považuje za vertikálny pohyb smerom nahor.

Ukážkové problémy:

1. Guľka je vystrelená v horizontálnom smere s počiatočnou rýchlosťou 20 m/s. Ak je zbraň 5 metrov nad zemou, určte:

a) čas vo vzduchu

b) maximálna výška

c) horizontálna vzdialenosť

(d) rýchlosť strely pri dopade na zem

Riešenie:

Pohyb v horizontálnom smere sa analyzuje ako rovnomerný lineárny pohyb, zatiaľ čo pohyb vo vertikálnom smere sa analyzuje ako pohyb voľným pádom.

Známe:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Čas vo vzduchu

Riešenie je ako určenie časového intervalu (t) pri voľnom páde.

Známe: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Hľadá sa: t

b) Maximálna výška

Maximálna výška = h = 5 metrov.

c) Horizontálna vzdialenosť (d)

Riešenie je ako určenie vzdialenosti pri rovnomernom lineárnom pohybe

Známe: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekunda

Hľadaný: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Rýchlosť, keď guľka dopadne na zem

vtx = _vox = 20 m/ _s

v _ty = ?

Najprv vypočítame konečnú rýchlosť vo vertikálnom smere (vty). Riešenie je podobné určeniu konečnej rýchlosti voľného pádu.

Známe: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Hľadá sa: v _ty

vt ₌ vo ₊ gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Smer strely:

Pretože v _tx je v smere kladnej osi x (doprava) a v _ty je v smere zápornej osi y (dole),

Smer strely pri dopade na zem je -26.1 ^° vzhľadom na kladnú os x (pozri obrázok nižšie).

2. Kanón vypálil guľku pod uhlom 30 ^° k horizontále s rýchlosťou 60 m/s. Určte:

a) maximálna výška

b) rýchlosť strely v maximálnej výške

(c) čas vo vzduchu

d) horizontálna vzdialenosť

(e) rýchlosť strely pri dopade na zem. Predpokladajme, že zem je rovná. 🙂

Riešenie:

Pohyb v horizontálnom smere sa analyzuje ako rovnomerný lineárny pohyb, pohyb vo vertikálnom smere sa analyzuje ako vertikálny pohyb smerom nahor.

Známe: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Na základe známych údajov najprv vypočítame vertikálnu (v _oy ) a horizontálnu (v _ox ) zložku počiatočnej rýchlosti (v _o ).

a) Maximálna výška (h)

Riešenie je podobné určeniu maximálnej výšky pri vertikálnom pohybe nahor.

Známe:

v _ox = v _o cos θ = (60) (cos 30) = (60) (0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60) (sin 30) = (60) (0.5) = 30 m/s

a) Maximálna výška (h)

Riešenie je podobné určeniu maximálnej výšky pri vertikálnom pohybe nahor.

Známe:

v _oy = 30 m/s (toto je počiatočná rýchlosť strely)

v _ty = 0 m/s (V maximálnej výške je vertikálna rýchlosť strely = 0 m/s. Toto je konečná rýchlosť.)

g = –9.8 m/ ^s²

Hľadaný: h

vt2 = _vo2 + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 hod.

900 = 19.6 hodín

h = 900/19.6

v = 45.9 metra

Maximálna výška dosiahnutá strelou = 45.9 metra.

b) Rýchlosť v maximálnej výške

V maximálnej výške je rýchlosť vo vertikálnom smere = 0 m/s. V maximálnej výške je jediná rýchlosť v horizontálnom smere. Rýchlosť v horizontálnom smere v maximálnej výške sa rovná počiatočnej rýchlosti v horizontálnom smere, ktorá je 52.2 m/s. Smer rýchlosti v horizontálnom smere je vždy konštantný, teda v smere kladnej osi x (ak je pohyb objektu opísaný na diagrame vyššie).

c) Čas vo vzduchu

Riešenie je podobné určeniu časového intervalu (t) v diskusii o vertikálnom pohybe nahor.

Známe:

v _oy = 30 m/s (toto je počiatočná rýchlosť strely vo vertikálnom smere)

g = –9.8 m/ ^s²

h = 0 m (keď sa strela vráti na zem, posunutie strely vo vertikálnom smere = 0 m)

Hľadá sa: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekundy

Čas vo vzduchu = 6.12 sekundy

d) Horizontálna vzdialenosť (d)

Riešenie je podobné určeniu vzdialenosti (d) pri rovnomernom lineárnom pohybe.

Známe:

vox ₌ 52.2 m/s

t = 6.12 sekundy

Hľadaný: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundy) = 319.5 m

e) Rýchlosť, keď guľka dopadne na zem

vtx = _vox = 52.2 m/ _s

v _ty = ?

Najprv vypočítame konečnú rýchlosť vo vertikálnom smere (v _ty ). Riešením je určiť konečnú rýchlosť pri vertikálnom pohybe nahor.

Hľadaná rýchlosť: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekundy

Hľadá sa: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Znamienko záporné označuje, že smer konečnej rýchlosti je smerom nadol. Všimnite si, že počiatočná rýchlosť vo vertikálnom smere sa rovná konečnej rýchlosti vo vertikálnom smere.

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Smer strely:

Keďže v _tx je v smere kladnej osi x (doprava) a vty je v smere zápornej osi y (dole),

Smer rýchlosti strely pri dopade na zem je -30 ^° okolo kladnej osi x (pozri obrázok nižšie).

3. Lopta je hodená z okraja 50 metrov vysokej budovy s počiatočnou rýchlosťou 10 m/s. Ak je lopta hodená pod uhlom 30° od horizontálnej roviny, určte:

a) časový interval, kedy lopta dosiahne zem

b) rýchlosť lopty pri dopade na zem

(c) horizontálna vzdialenosť, ktorú môže lopta dosiahnuť, sa meria od okraja budovy

(d) maximálna výška dosiahnutá loptou

Riešenie:

Najprv vypočítame vertikálnu zložku (v _oy ) a horizontálnu zložku (v _ox ) počiatočnej rýchlosti (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Časový interval, kedy lopta dopadne na zem

Riešenie je podobné určeniu časového intervalu (t) pri vertikálnom pohybe nahor. Veľkosť vektora, ktorého smer smeruje nahor, je zvolená ako kladná, veľkosť vektora, ktorého smer smeruje nadol, je zvolená ako záporná. Ako referenčný bod je zvolená poloha lopty, v ktorej je hodená. h je záporné, pretože povrch zeme je pod referenčným bodom, g je záporné, pretože smer gravitačného zrýchlenia je nadol.

Známe:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Hľadá sa: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Použite kvadratický vzorec:

Čas vo vzduchu = časový interval od hodu lopty po dopad na zem = 1.64 sekundy.

b) Rýchlosť lopty pri dopade na zem

vtx = _vox = vx ₌ 8.7 m/ _s

v _ty = ?

Najprv vypočítame konečnú rýchlosť vo vertikálnom smere (v _ty ). Riešenie je podobné určeniu konečnej rýchlosti pri vertikálnom pohybe nahor.

Známe: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekundy

Hľadá sa: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Znamienko záporné označuje, že smer konečnej rýchlosti je smerom nadol.

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Smer rýchlosti strely = smer pohybu strely pri dopade na zem:

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Pretože vtx je v smere kladnej osi x (doprava) a vty je v smere zápornej osi y (dole),

Smer strely pri dopade na zem je -52° okolo kladnej osi x (pozri obrázok nižšie).

c) Horizontálna vzdialenosť, ktorú môže lopta dosiahnuť, sa meria od okraja budovy

Riešenie je podobné určeniu prejdenej vzdialenosti (d) pri rovnomernom lineárnom pohybe.

Známe: t = 1.64 sekundy, v _x = 8.7 m/s

Hľadaný: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Maximálna výška dosiahnutá loptou

Známe: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikálna zložka rýchlosti v maximálnej výške = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Hľadaný: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metra

Maximálna výška, ktorú lopta dosiahne = 1.3 metra nad vrcholom budovy = 1.3 m + 50 m = 51.3 metra nad povrchom zeme.