projektil-pohyb

Článok o pohybe projektilu a vzorové úlohy s riešeniami

Počiatočná rýchlosť (v_o) a zložky počiatočnej rýchlosti (v_ox a v_oy)

Objekt, ktorého parabolický pohyb má vždy počiatočnú rýchlosť. Keďže parabolický pohyb je kombináciou pohybov v horizontálnom a vertikálnom smere, počiatočná rýchlosť má tiež horizontálnu a vertikálnu zložku.

Ak sa objekt pohybuje parabolicky ako na obrázkoch 1 a 3, potom počiatočná rýchlosť v horizontálnom smere (v_ox) a počiatočná rýchlosť vo vertikálnom smere (v_oy) sa vypočítajú pomocou rovnice:

v_ox = v_o vozík θ

v_oy = v_o hriech θ

Ak sa objekt pohybuje parabolicky ako na obrázku 2, potom v_o = v_ox (v_oy = 0)

Rýchlosť (v)_x a v_y) a poloha (x a y)

Rýchlosť v horizontálnom a vertikálnom smere v určitom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

v_x = v_ox = konštanta (rovnomerný lineárny pohyb)

v_y = v_oy + gt alebo v_y² = v_oy² + 2 gh (voľný pád)

Poloha objektov v horizontálnom (x) a vertikálnom (y) smere v určitom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

x = v_ox t

y=v_oy t + 1⁄2 gt²

Výslednica rýchlosti (v) a polohy (h)

Výsledná rýchlosť v zadanom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

Smer objektov v určitom časovom intervale sa vypočíta pomocou rovnice:

Poznámky:

1. Horizontálna zložka parabolického pohybu sa považuje za rovnomerný lineárny pohyb, takže vox = vx je vždy konštantné

2. Vertikálna zložka parabolického pohybu sa považuje za pohyb voľného pádu, takže ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázkoch 1 a 3, vertikálna zložka rýchlosti objektu v maximálnej výške je nulová (v_y = 0). Ak hodíte guľôčku vzpriamene nahor v maximálnej výške, predmet sa na chvíľu zastaví (v_y = 0) pred otočením smerom nadol. Preto je rýchlosť objektu pohybujúceho sa parabolou v maximálnej výške = v_x = v_ox

3. Ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázku 2, vertikálna zložka parabolického pohybu sa považuje za pohyb voľného pádu. Ak sa objekt pohybuje parabolicky, ako je znázornené na obrázkoch 1 a 3, potom sa vertikálna zložka parabolického pohybu považuje za vertikálny pohyb smerom nahor.

Ukážkové problémy:

1. Guľka je vystrelená v horizontálnom smere s počiatočnou rýchlosťou 20 m/s. Ak je zbraň 5 metrov nad zemou, určte:

a) čas vo vzduchu

b) maximálna výška

c) horizontálna vzdialenosť

(d) rýchlosť strely pri dopade na zem

Riešenie:

Pohyb v horizontálnom smere sa analyzuje ako rovnomerný lineárny pohyb, zatiaľ čo pohyb vo vertikálnom smere sa analyzuje ako pohyb voľným pádom.

Známe:

v_ox = 20 m/s, v_oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s²

a) Čas vo vzduchu

Riešenie je ako určenie časového intervalu (t) pri voľnom páde.

Známe: v_oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s²

Hľadá sa: t

b) Maximálna výška

Maximálna výška = h = 5 metrov.

c) Horizontálna vzdialenosť (d)

Riešenie je ako určenie vzdialenosti pri rovnomernom lineárnom pohybe

Známe: v_ox = 20 m/s, t = 1 druhý

Hľadá sa: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Rýchlosť, keď guľka dopadne na zem

v_tx = v_ox = 20 m / s

v_ty 🇧🇷

Najprv vypočítame konečnú rýchlosť vo vertikálnom smere (vty). Riešenie je podobné určeniu konečnej rýchlosti voľného pádu.

Známe: v_oy = 0, g = 9.8 m/s², t = 1 s

Hľadá sa: v_ty

v_t = v_o + gt —> vo = 0

v_t = gt

v_t = (9.8 m/s²)(1 s)

v_t = 9.8 m / s

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Smer strely:

Pretože v._tx je v smere kladnej osi x (doprava) a v_ty je v smere zápornej osi y (smerom nadol),

smer strely pri dopade na zem je -26.1^o ku kladnej osi x (pozri obrázok nižšie).

2. Kanón vypálil guľku na 30^o k horizontálnej rovine rýchlosťou 60 m/s. Určte:

a) maximálna výška

b) rýchlosť strely v maximálnej výške

(c) čas vo vzduchu

d) horizontálna vzdialenosť

(e) rýchlosť strely pri dopade na zem. Predpokladajme, že zem je rovná. 🙂

Riešenie:

Pohyb v horizontálnom smere sa analyzuje ako rovnomerný lineárny pohyb, pohyb vo vertikálnom smere sa analyzuje ako vertikálny pohyb smerom nahor.

Známe: v_o = 60 m/s, theta = 30^o.

Na základe známych údajov najprv vypočítame vertikálu (v_oy) a horizontálne (v_ox) zložky počiatočnej rýchlosti (v_o).

a) Maximálna výška (h)

Riešenie je podobné určeniu maximálnej výšky pri vertikálnom pohybe nahor.

Známe:

v_ox = v_o vozík θ = (60) (cos 30) = (60) (0.87) = 52 m/s

v_oy = v_o sin θ = (60) (sin 30) = (60) (0.5) = 30 m/s

a) Maximálna výška (h)

Riešenie je podobné určeniu maximálnej výšky pri vertikálnom pohybe nahor.

Známe:

v_oy = 30 m/s (toto je počiatočná rýchlosť strely)

v_ty = 0 m/s (V maximálnej výške je vertikálna rýchlosť strely = 0 m/s. Toto je konečná rýchlosť.)

g = –9.8 m/s²

Hľadá sa: h

v_t² = v_o² + 2 gh

0² = 30² + 2 (-9.8) hod.

0 = 900 – 19.6 hod.

900 = 19.6 hodín

h = 900/19.6

v = 45.9 metra

Maximálna výška dosiahnutá strelou = 45.9 metra.

b) Rýchlosť v maximálnej výške

V maximálnej výške je rýchlosť vo vertikálnom smere = 0 m/s. V maximálnej výške je jediná rýchlosť v horizontálnom smere. Rýchlosť v horizontálnom smere v maximálnej výške sa rovná počiatočnej rýchlosti v horizontálnom smere, ktorá je 52.2 m/s. Smer rýchlosti v horizontálnom smere je vždy konštantný, teda v smere kladnej osi x (ak je pohyb objektu opísaný na diagrame vyššie).

c) Čas vo vzduchu

Riešenie je podobné určeniu časového intervalu (t) v diskusii o vertikálnom pohybe nahor.

Známe:

v_oy = 30 m/s (toto je počiatočná rýchlosť strely vo vertikálnom smere)

g = –9.8 m/s²

h = 0 m (keď sa strela vráti na zem, posunutie strely vo vertikálnom smere = 0 m)

Hľadá sa: t

h = v_o t + ½ gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s²) t²

0 = (30) t – 4.9 t²

(30) t = 4.9 t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekundy

Čas vo vzduchu = 6.12 sekundy

d) Horizontálna vzdialenosť (d)

Riešenie je podobné určeniu vzdialenosti (d) pri rovnomernom lineárnom pohybe.

Známe:

v_ox = 52.2 m / s

t = 6.12 sekundy

Hľadá sa: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundy) = 319.5 m

e) Rýchlosť, keď guľka dopadne na zem

v_tx = v_ox = 52.2 m / s

v_ty 🇧🇷

Najprv vypočítame konečnú rýchlosť vo vertikálnom smere (v_ty). Riešením je určiť konečnú rýchlosť pri vertikálnom pohybe nahor.

Hľadá sa: v_oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s², t = 6.12 sekundy

Hľadá sa: v_ty

v_ty = v_oy + gt

v_ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v_ty = (30) – (60)

v_ty = -30 m/s

Znamienko záporné označuje, že smer konečnej rýchlosti je smerom nadol. Všimnite si, že počiatočná rýchlosť vo vertikálnom smere sa rovná konečnej rýchlosti vo vertikálnom smere.

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Smer strely:

Od v._tx je v smere kladnej osi x (doprava) a vty je v smere zápornej osi y (smerom nadol),

smer rýchlosti strely pri dopade na zem je -30^o okolo kladnej osi x (pozri obrázok nižšie).

3. Lopta je hodená z okraja 50 metrov vysokej budovy s počiatočnou rýchlosťou 10 m/s. Ak je lopta hodená pod uhlom 30° od horizontálnej roviny, určte:

a) časový interval, kedy lopta dosiahne zem

b) rýchlosť lopty pri dopade na zem

(c) horizontálna vzdialenosť, ktorú môže lopta dosiahnuť, sa meria od okraja budovy

(d) maximálna výška dosiahnutá loptou

Riešenie:

Najprv vypočítame vertikálnu zložku (v_oy) a horizontálna zložka (v_ox) počiatočnej rýchlosti (v_o).

v_ox = v_o cos 30^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v_oy = v_o hriech 30^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Časový interval, kedy lopta dopadne na zem

Riešenie je podobné určeniu časového intervalu (t) pri vertikálnom pohybe nahor. Veľkosť vektora, ktorého smer smeruje nahor, je zvolená ako kladná, veľkosť vektora, ktorého smer smeruje nadol, je zvolená ako záporná. Ako referenčný bod je zvolená poloha lopty, v ktorej je hodená. h je záporné, pretože povrch zeme je pod referenčným bodom, g je záporné, pretože smer gravitačného zrýchlenia je nadol.

Známe:

v_oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s²

Hľadá sa: t

h = v_o t + ½ gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t²

-5 = 5 t – 4.9 t²

-4.9 t² + 5 t + 5 = 0

Použite kvadratický vzorec:

Čas vo vzduchu = časový interval od hodu lopty po dopad na zem = 1.64 sekundy.

b) Rýchlosť lopty pri dopade na zem

v_tx = v_ox = v_x = 8.7 m / s

v_ty 🇧🇷

Najprv vypočítame konečnú rýchlosť vo vertikálnom smere (v_ty). Riešenie je podobné určeniu konečnej rýchlosti pri vertikálnom pohybe nahor.

Známe: v_oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s², t = 1.64 sekundy

Hľadá sa: v_ty

v_ty = v_oy + gt

v_ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v_ty = 5 - 16

v_ty = -11 m/s

Znamienko záporné označuje, že smer konečnej rýchlosti je smerom nadol.

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Smer rýchlosti strely = smer pohybu strely pri dopade na zem:

Rýchlosť strely pri dopade na zem:

Pretože vtx je v smere kladnej osi x (doprava) a vty je v smere zápornej osi y (dole),

Smer strely pri dopade na zem je -52° okolo kladnej osi x (pozri obrázok nižšie).

c) Horizontálna vzdialenosť, ktorú môže lopta dosiahnuť, sa meria od okraja budovy

Riešenie je podobné určeniu prejdenej vzdialenosti (d) pri rovnomernom lineárnom pohybe.

Známe: t = 1.64 sekundy, v_x = 8.7 m / s

Hľadá sa: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Maximálna výška dosiahnutá loptou

Známe: v_oy = 5 m/s, v_ty = 0 m/s (vertikálna zložka rýchlosti v maximálnej výške = 0 m/s), g = -9.8 m/s².

Hľadá sa: h

v_ty² = v_oy² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s)² + 2(-9.8 m/s²)(h)

0 m/s = 25 (m/s)² + (-19.6 m/s²)(h)

25 (m/s)² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s)² : -19.6 m/s² = 1.3 metrov

Maximálna výška, ktorú lopta dosiahne = 1.3 metra nad vrcholom budovy = 1.3 m + 50 m = 51.3 metra nad povrchom zeme.